立足教材 培养学生的探究能力

郎建林

培养学生的探究能力是新课标所倡导的一个重要理念，如何立足教材、利用课本题为学生提供探究的平台，提高学生的探究能力？是我们在教学中值得探讨和研究的问题，下面仅以一例说明本人的初步做法，供大家在教学中参考。

在人教A版高中必修（二）2.3.2平面与平面垂直的判定的教学中，我给学生的课堂练习题就是69页的课本题，题目是：如图，正方形 中，E、F分别是 、 的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使 、 、 三点重合，重合后的点记为G，则在四面体 中必有（ ）

A. 所在平面 B. 所在平面

C. 所在平面 D. 所在平面

在学生完成课堂练习的基础上，增加条件：正方形 的边长为 ，让学生课后以小组为单位，探究4个问题，下一节课在课堂上展示探究结果。探究不设定路径，不给出结果，让学生自由发挥，培养他们的探讨能力，想象能力和创造能力。现将课堂上展示的探究结果归纳如下：

探究Ⅰ：探究点G在平面SEF上的射影点O的位置，并求出OG的长度？

探究结果1：连接EO、FO并延长分别交SF、SE于点M、H，易证SG⊥平面GEF，所以SG⊥EF，SO是SG在平面SEF上的射影，因此SO⊥EF，同理FO⊥SE，故点O是△SEF的垂心，故 。

教师点评：上述结果表明、三棱锥的三条侧棱两两垂直，顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，注意掌握直角三角形斜边上的高的计算方法。

探究结果2：因为GE=GF，所以OE=OF，点O在线段EF的垂直平分线SD上，按探究结果1的方法求得 ，从而 ， ， ，故点O是SD上靠近D的一个八等分点， 。

教师点评：将点O的位置定位在线段的垂直平分线上，再用线段SD的等分点描述其准确位置。

探究结果3：因为GF⊥平面SGE，所以GF⊥SE，其射影FO⊥SE，点O在△FSE的高线FH上；同理点O也在△ESF的高线EM上；故点O是△SEF的垂心。OG是Rt△GFH斜边上的高，故 。

教师点评：视角不同，方法与结果1类似。

探究结果4：因为∠GSE=∠GSF，所以点O在∠ESF的角平分线SD上，将OG视为三棱锥G-SEF的高，由 ，求得 ， ，故点O到点S的距离为 。

教师点评：用体积变换法求距离及描述点O的位置的方法，都值得借鉴和把握。

探究结果5：易证平面GSD⊥平面SEF，点O在两平面的交线SD上，在Rt△SGD中，由 得 ， ，故点O在SD上，且 ， 。

教师点评：用面面垂直的性质判定垂足O的位置非常重要，在直角三角形中根据射影定理进行计算值得参考。

探究Ⅱ：探究GS、GE与平面SEF所成角的一种三角函数值？

探究结果1：由探究Ⅰ中的结论知，在Rt△SOG和Rt△EOG中， ， 。

教师点评：直接根据线面角的定义，按一作二证三计算的步骤完成，思路清晰。

探究结果2：在Rt△SGD和Rt△EGM中， ， 。

教师点评：将所求角放在另一个容易计算的三角形中考查，可达到简化计算的目的。

探究结果3：用体积变换法直接求出 ，不作而求直接得到GS、GE与平面SEF所成角 、 的正弦值分别为 ， 。

教师点评：用体积变换法直接求出斜线上一点到平面的距离，可达到不作而求的目的。

探究Ⅲ：探究二面角 和二面角G-EF-S的一种三角函数值？

探究结果1：由探究Ⅰ知，上述二面角的平面角分别为∠GHO和∠GDO， ， 。

教师点评：抓住垂线段GO，寻找二面角的平面角，这是作二面角平面角最重要的基本方法。

探究结果2：因为△SEF和△GEF均为等腰三角形，点D是底边EF的中点，所以二面角G-EF-S的平面角为∠GDS， 。

因为FG⊥平面GSE，过点E作GH⊥SE，连接FH，易证二面角G-SE-F的平面角为∠GHF， 。

教师点评：抓住两个等腰三角形，用连接特殊点法找到平面角，抓住垂线段FG找平面角与结果1类似。

探究结果3：设上述二面角的平面角分别为 、 ，根据公式法得到 ， 。

教师点评：按 计算运算量就要大一些。变换视角，灵活运用公式，按上述方法，显然减少了计算量。

探究Ⅳ：探究三棱锥G-SEF的外接球和内切球半径？

探究结果：将三棱锥G-SEF视为长方体截下的一个角，则其外接球就是长方体的外接球，半径 。

设三棱锥G-SEF的内切球球心为 ，则三棱锥可分割成以 为顶点，以三棱锥的四个面为底面的四个小三棱锥。这四个小三棱锥的高均为三棱锥G-SEF的内切球半径 ，所以 ，即

，由此得 。

教师点评：将三棱锥放到长方体中求其外接球半径，将三棱锥分割后用等积法求内切球半径，这是立体几何中割补转化的思想方法，同学们要认真体会和把握。

通过挖掘课本题的探究功能，为学生提供了探究的平台，使学生的探究能力和解题能力得到提升，可达到激发兴趣，增强信心，归纳思想方法，优化思维品质的教学目的。