整式乘法与因式分解题型及解题研究

李宏丽

在当今初中教学中，因式分解和整式乘法是初中数学知识中整式运算的两个形式相对且关系紧密的一个变形。在初中教材中，整式乘法和因式分解是比较重要的教学内容，也是解决数学难题的依据，这一内容可以有效培养学生的观察、解决问题、创新等方面的能力。

一、整式乘法和因式分解分析

在初中数学代数里面的式就是采用了字母来表达数后发生的研究对象，虽然式相较于数更加抽象，可是式是创设在数的基础之上的，因而整式乘法和因式分解，就是整数乘法和因数分解的一种拓展。

1.关于整式乘法的分析

在初中数学中，整式一般包含了多项式以及单项式，单项式的乘法就是最为简洁的整式乘法，通过几个单项式相乘，然后乘积是一个全新的单项式，就像2x·3y=6xy等。具备了单项式乘法的相关法则，此刻就可以使用分配律，就能将单项式乘以多项式或将多项式相乘，那么这种乘法所获得的积就是多项式了。

2.关于因式分解的分析

因为等式的右边部分和左边部分是能够进行互换的，如（1）2m2（m2+3n）；（2）（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）2a2（a+b）（a-b）=2a4-2a2b2。因此，根据上述等式的（1）（2）（3）就能够对应写出：（4）2m4+6m2n=2m2·（m2+3n）；（5）a2-b2=（a+b）（a-b）；（6）2a4-2a2b2=2a2（a+b）·（a-b）。所以，通过式子之间的比对，从形式上就可发现：在前三个式子当中等号的左边是由几个整式进行相乘的，而右边则是乘积的多项式；后三个式子当中的等号左边是多项式，右边是几个整式相乘的，所以经过这样的区分就能联想到：虽然（1）与（4）、（2）与（5）、（3）与（6）表达的是相等的关系，可是前三个式子则强调的是几个整式相乘而整合成一个多项式的流程，且后三个式子则强调的是多项式分解成整式相互乘以的流程。

二、初中因式分解和整式乘法的部分题型

1.整式的运算

在初中常见类型当中最常见整式乘法多数是考查学生对乘法公式的应用，通常和化简计算求值相关。

2.采用因式分解结果进行求值

举个例子：通过已经知道的（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）就可以把因式分解为（3x+a）·（x+b），那么其中的ab就是整数，那么a+3b就是：（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13），等于（3x-7）（2x-21-x+13），等于（3x-7）（x-8），那么a=-7，b=-8，所以a+3b=-7-24=-31，所以最终得出的结果就是-31。

3.在因式分解当中运用换元法

举个例子：将（x2+7x-5）（x2+7x+3）-33进行因式分解，解答：关注到两种因式当中均具备了x2+7x，所以采用的解题方法就是通过设x2+7x=a，那么原式就等于（a-5）（a+3）-33=a2-2a-15-33=a2-2a-48=（a-8）（a+6），所以原式就等于（x2+7x-8）（x2+7x+6）=（x+8）（x-1）（x+1）（x+6）。

三、因式分解和整式乘法的解题法

1.整式乘法解题法

整式作为代数式的一个组成部分，在整式的运算之中，假如可以准确且灵活地使用功能相关法则以及公式，并且熟练掌握一些计算方式以及技巧，就可以让计算变得非常丰富，因而下面是针对整式乘法解题的一些方法。

首先，采用公式变形，来创造等式。

其次，采用平方开放，用和来求差的方式。举个例子：假如x2+y2=25，x+7=7，x>y，那么请计算出x-y的值。先进行分析，计算出x-y的值，只需要计算出（x-y）2，就是x2-2xy+y2的值就行了，因为x2+y2是已知的，所以只要计算出xy的值就行了。

2.因式分解解题法

对初中的数学教材中的因式分解，可以采用这几种方法进行解题：一是提取公因式法，二是公式法。首先，就因式分解的提公因式法而言，根据p（a+b+c）=pa+pm+pc，就能得出这个式子：pa+pb+pc=p（a+b+c）。比如，将pa+pm+pc分成两种因式积的方式，那么在这里面的一个因式（a+b+c）就是pa+pm+pc各项的公因式p。并且在这里面的另外一个因式就是通过除以p而得到的商，根据这样的分解因式方式就是提公因式法。提公因式的各项都具备了一个公因式p，那么就可以将因式的p作为这多项式的公因式。且寻找公因式的方式就是：第一，观察各项系数是不是具备了公约数，假如存在公约数，就可以提取系数的最大公约数。第二，观察各项是不是存在相同的字母，假如存在，就可以提取各項共同的字母里面的指数最小的幂。第三，假如首项是负的，那么可以将符号以及公因式一同提出。

四、结语

上文阐述了整式乘法和因式分解的一些解题方式和题型，在初中数学中，对于这类型的解题方式和题型还有很多。所以，需要初中教师继续研究更加简便的教学方式，帮助学生解决这类问题，让学生更容易理解，进而提升学生的数学成绩。

（作者单位：湖北省随州市曾都区五眼桥中心学校）