数学变式教学在思维启发处“变”出真风采

□陈国伟 余 兵

（长兴县金陵高级中学，浙江长兴 313100）

数学变式教学在思维启发处“变”出真风采

□陈国伟 余 兵

（长兴县金陵高级中学，浙江长兴 313100）

作为一名合格的数学教师，要能够有智慧让学生“知其然且知其所以然”.在数学学习中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.变在思维启发处的变式训练围绕教学目标而设定，不断引发学生自己去实践、去发现，这比教师的反复强调与演示要强上千倍.

变式训练；思维能力；启发

问题是数学的心脏，数学教学离不开问题和解答，随着大家对数学问题和解答研究的日益深入，数学变式教学作为一种行之有效的教学方式深受广大教师所喜爱.变式教学的核心是一个“变”字，教学过程中可以“变”问题的条件和结论，也可以“变”问题的形式和背景，还可以“变”问题的解决方法.但无论怎么“变”，其问题的本质属性不仅不会发生改变，还能让问题的本质更加清晰、全面地展现在学生的面前.然而，教学过程中我们不难发现，很多教师运用的变式训练仅仅是简单地用“讲一练三”来重复操练同一个问题，或是用“类似题组”来机械复制同一种解题方法.这些变式训练在教学过程中确实能立竿见影地起到熟练解题的效果.但笔者认为，通过对同一问题的不断操练而达到熟练解题，并不是变式教学的主要目的，我们的教学应以“变”字入手，合理运用变式培养学生的“应变”及“善变”能力，在学生的思维启发处灵活设“变”，让我们的数学教学“变”出真正的风采，本文就变式教学的几种不同策略简要介绍，以期抛砖引玉.

一、变在问题特殊处 培养学生的系统思维能力

数学是一种系统的整体的思维体系，数学教学尤其要注重数学问题的系统性和整体性，当学生碰到一些较为特殊的问题时，不妨引导学生想一想此类问题是否具有共性，我们能否得出进一步的推广.

例 1已知函数当时，则满足的所有x的值的和为_____.

本题考查三角函数的恒等变形及求值等问题，难度不大，但考虑到题中所给条件显然是特殊值，很多学生会通过特殊角直接运算出所有的值然后再进行求和，如果教学中点到为止，我们就忽略了该题中运用数形结合及函数的对称性解决问题的数学本质，不妨进行如下变式：

变式1满足的所有x的值的和为____________.

变式2满足的所有x的值的和为_____________.

变式3满足的所有x的值的和为___________ _ .

如此将问题从特殊角转化到非特殊角，将学生的思路从“蛮横求解”引入运用对称性的“巧妙解法”，减少运算量，突出数形结合的解题宗旨，如此以学生的认知过程为主线，将知识的探索发现过程进行必要的剪辑和改编，将问题的本质以知识链的方式展现，以达到培养学生系统思维能力的目的．

二、变在问题难点处 培养学生的辩证思维能力

数学问题难点的成因是多样的，一方面它受制于学生原有的认知体系及经验水平，另一方面则源于教师的教学理念和解法指导.为此教师要善于在问题的难点处设“变”，通过位于难点处的变式训练，让学生体会问题难点的突破过程，引发学生掌握对问题解决的一般方法，让学生自然而然地形成知识方法的迁移，这是变式教学培养学生辩证思维的重要手段.

例2（2016年高考浙江卷）如图，设椭圆

（1）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a,k表示）；

（2）若任意以点A(0 ,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

本题形式简洁而独具匠心，较好地考查了学生运用数学知识分析和解决问题的能力．然而很多学生却觉得无从下手，究其原因还在于题设中的条件“至多有3个公共点”给他们带来太多的困扰.事实上此类问题在圆锥曲线中较为常见，教学过程中可利用变式训练在类似背景处展现其问题本质，使学生在把握双基的基础上掌握常见的解题手段，更加深刻地理解问题本质并解决问题.

变式1若圆上有且只有两个点到直线4x-3y=17的距离等于1，则半径r的范围是（ ）

A.(0 ,2 )B.(1 ,2 )C.(1 ,3) D.(2 ,3)

变式2已知直线l:2x+y-2=0与椭圆交1于A，B两点，点P是椭圆上异于A,B的动点，则满足三角形PAB的面积为的点P的个数为（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

三、变在概念链接处 培养学生的类比思维能力

在作业或考试中我们经常会发现学生面对一些问题时无从下手，更有甚者“不知问题所谓”，这是由于学生的问题概念认知具有一定的局限性，当问题提出的概念高于学生的一般认知水平或模糊状态时，学生就会感到不自然甚至无法接受.为此，教师应在问题的概念处设变，或纵向挖掘内涵、或横向拓展外延、或近邻比较剖析，运用变式训练引导学生体会理解问题的核心概念，培养分析归纳和类比思维能力.

例3已知函数f()x=函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是______.

存在性和任意性是函数问题的一对孪生兄弟，教学切不可在单边问题上解析，而是应该对照比较，让学生通过其变式训练深刻体会两者之间的差异.

变式1若存在，使得g(x2)成立，则实数a的取值范围是______.

变式2若对任意的x1,x2∈[0 ,1]，都有f(x1)＜g(x2)成立，则实数a的取值范围是______.

变式3若对任意的x1∈[0 ,1]，存在x2∈[0 ,1]使得f(x1)＜g(x2)成立，则实数a的取值范围是______.

变式4若存在x1∈[0 ,1]，对任意的x2∈[0 ,1]都有f(x1)＜g(x2)成立，则实数a的取值范围是______.

四、变在方法本质处 培养学生的形象思维能力

数学形象思维是指用直观形象和表象解决数学问题的逻辑思维，它对学生分析并解决问题具有重要的作用.教学中对于一些方法较为特殊、题型较为类似的问题，运用变式训练把这些形象类似的问题串联在一起，对于学生把握解题技巧，掌握思想方法往往能起到立竿见影的效果，并通过形象思维的培养进一步地理解此类问题的本质.

例4（2015年高考全国卷Ⅰ）Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，an2+2an=4Sn+3.（1）求{}

an的通项公式；（2）设求数列{bn}的前n项和.

裂项相消是数列求和的一种典型技巧性的解题方法，教学中我们不仅要能让学生掌握其方法步骤，还要能让学生理解其问题本身所带有的“属性”及裂项相消方法的本质思维，为此我们不仅要在类似问题形式上下功夫，还要在揭示其本质上建立变式训练，类似于或an=显然并不是我们的教学重点，我们的变式应该从其本质入手除了运用上述例子的变式达到熟练掌握方法的同时，还应该对“裂项相消”的本质进行变式，如本例第（2）题中条件变为“，n≥2时，bn=( )-1n-1”求数列{bn}的前n项和.如此，将裂项相消应用于连续两项和的相消方法，突出“如何才能相消”的数学解题策略，培养并提高学生形象思维能力.

五、变在方法推广处 培养学生的发散思维能力

举一反三、触类旁通是数学教学孜孜以求的目标，如何才能让学生懂一题而通一类，这就需要教师在教学设计上下功夫，运用变式题组将不同背景下的问题混编，让学生的思维自然形成发散，体会“多题一解”的奥妙.

此题通过数形结合及双曲线的定义转化实现最值的求解，教学中加以延伸推广，将问题发散至椭圆、抛物线等问题，可设置如下变式：

变式1已知点P为抛物线y2=4x上任一点，点F为其焦点，点M的坐标为(2 ,2)，则|PM|+ |PF|的最小值为______.

变式2已知点P为抛物线y2=2x上任一点，点P在y轴上的正投影为点A，点M|PM|+ |PA|的最小值为______.

变式3已知直线l1:4x-3y+11=0和直线l2:x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为______.

变式4设F1,F2分别是椭圆则 1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为( )6,4，则 ||PM+ ||PF1的最大值为______.

变式5设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(2 ,1)，则| PM|+ |PF1|的最大值为______.

六、变在问题创新处 培养学生的创新思维能力

数学是思维的体操，是培养人类理性思维的重要载体，创新思维能力则是各种思维能力的核心，数学教学则是培养与开发学生创新思维的主阵地.其中一题多解或改变拓展问题背景是培养学生创新思维的主要手段.例如我们在利用平面向量基本定理扩展到平面向量的正交分解时，不妨将直角坐标系变式为60°或135°的“斜坐标系”等问题，在平面向量的基本运算法则不变的情况下，让学生充分理解“平面向量基本定理”的意义，并将之推广衍生，培养学生的创新思维.又如我们在运用正余弦定理解决三角形问题时，不妨引入坐标法或向量法，让学生在体会数形结合的魅力的同时拓展解题策略，体会解析几何和向量作为“数”与“形”的桥梁的作用.

毕达哥拉斯曾经说过：“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.”作为一名合格的数学教师，要能够让学生“知其然且知其所以然”，正如拉普拉斯所说：“在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.”变在思维启发处的变式训练围绕教学目标而设定，不断引发学生自己去实践，去发现，这比教师的反复强调与演示要强上千倍.