学生学业成绩分析的数学模型

徐杨溢

摘要：本文主要以金华二中高三某班的数学成绩为例，运用标准差、方差、偏度、峰度等指标，较单一的“绝对分数”更全面、客观、合理地分析了学生成绩的整体特征，采用频率直方图，正态分布图使得分析更加直观、清晰。

关键词：学生成绩分析 绝对分数 频率直方图 正态分布图

1. 问题提出

众所周知，初高中现今实行以“绝对分数”来分析一场考试中学生的成绩情况，分析学生学习状况的目的是激励优秀学生努力学习取得更好的成绩，同时为教师如何正确地引导学生学习提供帮助。但是以“绝对分数”来分析只能对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。因此，我们需要更为全面、客观、合理的方式来进行评价[1]。

我们搜集了金华二中高三某班的521名学生连续四个学期的数学成绩。为了更直观地分析和比较四个学期中学生成绩的整体变化以及各学期的的差异，了解学生的学习能力、总体学习成绩等，运用统计学知识[2]，对这521名学生的整体成绩情况进行了包括每个学期整体成绩的平均值、最大值、最小值、标准差、优秀率等多项指标在内的详细分析。同时，为了更合理、科学地了解学生整体成绩特征的发展趋势，可以用偏度和峰度进行分析。在数据处理[3]时把成绩分为四个等级，120分及以上的为优秀，105分到120分之间的为良好，90分到105分之间的为合格，小于90分的为不及格，来分析学生整体学习状态发展趋势。最终对学生的整体情况进行全面、客观、科学的分析说明。

2. 模型建立

2.1 模型一的建立

我们先从整体评价学生成绩开始，对这521名学生的整体成绩情况进行包括每个学期整体成绩的平均分、最高分、最低分、标准差、极差、及格率等多项指标在内的详细分析。

为了进一步比较每个学期中学生整体成绩较各学期平均分的偏向程度和高分层人数的比例，运用偏度（Skewness）公式和峰度（Kurtosis）：

其中，μ表示每学期学生成绩的平均分，σ表示每学期学生成绩的标准差，x表示每学期中学生的成绩，S每个学期学生成绩的偏度，K表示每个学期学生成绩的峰度。

2.2 模型二的建立

为了更加直观、清晰地觀测每个学期学生成绩的分布情况，了解每个学期中学生的基础掌握和四个学期中学生学习态度的整体变化。利用直方图中各频率面积分布同时，结合正态分布公式如下：

来进一步分析学生的每个学期成绩整体分布和学习状况。

同时，基于把学生的成绩划分为四个等级，120分的及以上为优秀，105分—120分的为良好，90分—105分的认为合格，90分以下的为不合格。对每个学期中每个成绩等级段的人数进行分别分类统计，并直观地将四个学期学习成绩等级分布利用簇状圆柱图来呈现。

3. 模型求解

3.1 模型一的求解

运用Excel对附件中的基础数据统计后运用平均值、最大值、最小值、方差、标准差、极差、及格率等多项指标的计算公式进行计算并得到以下结果：

1.四个学期的总平均成绩均在100分左右，体现了学生的总体学习情况良好；

2.四个学期的考试难度有所差异第一学期相对简单，第3学期相对较难，但是仍可以肯定大部分学生的学习能力；

3.四个学期的最高分均在135分左右，因此看出高分层学生的成绩无较大波动，较为稳定；

4.四个学期中第一、二学期的标准差较第三、四学期的大，说明一、二学期的分数较为分散，学生的差距较大，三、四学期学生学习的差距略小。由此，说明学生的学习整体状态具有紧张和松懈期，和所在学年中的上、下学期有关，学生在学年中的下学期学习较上学期更为紧张，差距减小。

将521名同学的四个中的每个学期的整体成绩的平均分和标准差分别带入以上的两个公式中，可得到以下结果：

1.从四个学期的峰度值可以看出，试卷难易程度决定了高分层的学生数量，可见第一学期之易和第三学期之难，同时也说明学生努力成为高分层即学习更多知识完善自我的意识增强，并在实际中取得了收获；

2.据每个学期的偏度值，可以判断出学生每个学期的总体成绩分布都属于负偏态分布，即其波峰偏向于成绩较高的右侧，体现了学生的总体成绩偏向于高分，每个学期的偏度值的绝对值越大，说明偏态程度越来越严重，进一步说明学生的学习积极性增强。

3.2 模型二的求解

运用Excel，作出四个学期学生数学成绩正态分布直方图[4]，从图中可以得到以下结果：

1.可以清晰地观测到，四个学期的每个学期中学生成绩均主要分布在90分—120分之间，说明大部分学生学习中对于基础的知识内容掌握的比较扎实；

2.进一步可以观察到第一学期中学生成绩正态分布在平均分109分左侧所占面积比例明显多于右侧，且分布分散，即低分段的学生较多，体现了第一学期中学生基础较薄弱；

3.从第二学期至第四学期的学生成绩综合分部中发现频率的主体分布逐渐向每个学期的平均分聚拢，同时高分层所占频率面积有了明显增加，更能肯定学生的基础的不断加强，大部分学生的学习态度不断改善，学习的兴趣加深，对自身学习要求不断提高。

把学生的成绩划分为四个等级，对每个学期中每个成绩等级段的人数进行分别分类统计，并直观地将四个学期学习成绩等级分布利用簇状圆柱图表示并得到以下结果：

1.因为四次考试的难度有所差异，导致学生成绩等级分布出现明显的不同，但也集中体现了大部分学生能掌握学习的基本知识；

2.通过比较可明显观测到，第一学期因为试卷简单不及格人数最少，第三学期因为试卷较难不及格人数最多，但比较难度相似的第二和第四学期，发现低分层学生的学习积极性和学习态度不断提高，渐渐向中分层及高分层发展。

4. 结论

运用平均分、标准差、偏度、峰度指标等使得原本单一枯燥的分数变得多样化，通过比较这些指标，可以更清楚地分析学生成绩的整体特征。利用正态分布直方图，能够直观、清晰地看出每个学期学生成绩的整体特征。作为教师也可以通过这样的方式来分析学生的总体成绩，一味地追求单一枯燥的“绝对分数”较不利于学生之后的学习情况。

参考文献：

[1]熊永忠.《重庆科技学院学报：社会科学版》， 2006 （S1）：104-105.

[2]王文博.《统计学：原理、方法及应用》， 西安：西安交通大学出版社，2010.

[3]Darnay， Arsen J. Statistical Record of the Environment. Detroit： Gale Research Inc， 1992.

[4]马莹莹.用Excel画直方图和正态分布图. 《科技信息》. 2011，21：685-686.