化零为整系统思考

【摘要】函数是数学的重要内容之一.本节课通过一个问题的四次追问，建立各类函数模型，引导学生把点状、零散的函数知识整体化、系统化，使之形成较为完整的知识和能力体系，从而深刻体会知识之间紧密的内在联系，优化认知结构，发展数学思维.

【关键词】函数模型；整体建构；系统思考

1背景

函数是中学数学的核心内容，是研究运动变化的有效数学工具，是促进数与式、方程、不等式之间更和谐统一的利器.然而，由于函数概念的高度抽象性，使得学生的认知水平仅仅停留在解函数题目上，而对函数与函数之间、函数与方程、不等式之间的联系，总是“雾里看花”，朦朦胧胧，不甚明了.为使学生能站在代数学的系统上，以联系的观点看函数，笔者设计了一节函数复习课，通过层层递进的问题串，环环相扣的数学活动，让学生在自主学习、合作学习、探究学习中系统思考并构筑数学知识体系，获得思维和能力的发展.

2教学设计

（一）内容和内容解析

1.内容

复习人教版《义务教育教科书·数学》第四册“第19章：一次函数”、第五册“第22章：二次函数”及第六册“第26章：反比例函数”的函数概念、性质.

2.内容解析

函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.函数概念的出现是客观实际需要，也是数学内部发展的需要.初中阶段的函数知识主要分布在八、九年级，其类型有正比例函数、一次函数、反比例函数和简单的二次函数.要使学生真正理解函数概念，掌握函数的核心内容，就应从运动变化的角度对客观事物进行数量化研究.为此，函数的学习，不仅要关注知识内容，即了解函数解析式，掌握函数图象和性质，并会应用函数的图象和性质解决一些生活和其他学科中的问题，更应注重促进学生对函数概念本质的理解和函数之间内在的联系，函数与方程、不等式之间的联系，以及在教学过程中提炼并应用探究未知函数的一般思路，为学生的后续学习打好扎实的基础.

基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：建立函数知识树，沟通函数之间的内在联系.

（二）目标及目标解析

1.目标

①通过函数知识的回顾与思考，进一步掌握函数及各类函数的概念、图象和性质.

②结合具体实例，经历完整的函数建模过程和探究函数图象、性质的过程，体会数形结合思想和建模思想.

③通过合作学习建立函数知识树，培养学生的整理、归纳、抽象能力，学会用联系的观点看函数.

2.目标解析

目标①的要求是：学生熟练掌握函数及各类函数的概念、图象和性质，能准确区别各类函数.

目标②的要求是：以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，学生再次经历“建立函数模型表示变量之间的对应关系，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，掌握研究函数知识的一般方法，体会到蕴涵其中的数形结合、建模等数学思想方法.

目标③的要求是：学生通过建立函数知识树加深对各类函数的认识，感受知识之间内在的联系，能构建和发展相互联系的知识体系，能把方程、不等式与函数联系起来.

（三）教学问题诊断分析

由于教材的编排，各类函数知识相对独立，学生学得比较零散，且缺乏系统性，难以用联系的观点看各类函数的关系，并真正理解函数与方程、不等式之间的联系，再加以构建知识体系.又函数的学习需要学生用运动变化的眼光，把抽象的数量关系和直观的函数图象结合起来认识、分析并解决问题，抽象性较强，这对学生而言有一定的难度.因此，教师应引导学生关注函数之间的内在联系，体会函数观点的统率作用，感受函数与方程、不等式之间的联系，并从运动变化的角度建立函数模型，提高综合应用数学知识的能力.

基于以上分析，可以确定本课的教学难点是：从联系的角度感受函数的统率作用，并用函数知识解决实际问题.

（四）教学过程

1.創设情境，提出问题

问题1：为庆祝元旦，学校决定在门口设计一个矩形花坛来增添节日氛围.已知矩形花坛的一边长是3 m，你能帮着提供设计方案吗？有几种方案？

追问1：若设矩形的另一边长是x m，面积为y m2，则y与x之间有怎样的关系？

追问2：若设矩形的另一边长是x m，周长为y m，则y与x之间有怎样的关系？

追问3：若要求矩形的面积为18 m2 ，设矩形的两边长分别是x m，y m，则y与x之间又有怎样的关系？

追问4：若设矩形的另一边长为x m，原来的边长增加x m，现在的面积为y m2，则y与x之间有怎样的关系？

师生活动：教师用电脑展示，学生观察，并回答问题.教师在黑板上板书：y=3x，y=2x+6，y=18x，y=x2+3x.

设计意图从学生熟悉的实际问题出发，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲，并为建立函数模型，复习函数概念做好准备.

2.观察抽象，建立模型

问题2：这四个式子中，变量y与x之间具有怎样的共同特征？

追问1：也就是说，变量y与x之间具有什么关系？

追问2：什么叫函数？

追问3：函数的核心内容是什么？

师生活动：学生观察、思考，复习回忆函数的概念：一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.其核心内容：y随着x的变化而变化，当x确定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应.

设计意图通过学生的观察、思考，让学生充分感受生活中变量之间的共同特征，进一步理解函数的概念，体会函数概念中最基本的内容.

3.化零为整，构筑体系

问题3：你学习了函数的哪些知识？

追問1：函数的表示方法有哪些？

追问2：函数有哪些类型？在各类函数中，我们分别学习了哪些知识？请与同伴合作交流.

师生活动：学生先独立思考，再小组交流后，在教师的引导下完成函数知识树的构建，教师电脑演示如下所示：

设计意图通过独立思考、合作交流，设置主干问题，一步步引导学生自主建立函数知识树，构建起知识间的内在联系，既整合零散知识，又能从整体上把握函数知识，初步完成用联系、整体、系统的观点看函数问题，深化对函数问题的认识.

追问3：两个变量中，取定一个变量的值，你能求出另一个变量的值吗？

追问4：两个变量中，给出一个变量的取值范围，你又能解决什么问题呢？

师生活动：学生思考后回答，教师结合黑板上的解析式进行说明，引导学生发现函数与方程、不等式之间的联系.

设计意图通过追问，让学生感受到函数与方程、不等式之间存在的密切联系，体会到函数的统率作用，培养学生用联系的观点看问题的意识.

4.关注本质，感受联系

问题4：已知函数y=（k-2）xk-3，当k为何值时，此函数是正比例函数？

变式1：当k为何值时，此函数是反比例函数？

变式2：当k为何值时，此函数是二次函数？

师生活动：学生独立完成，并口答.教师引导学生发现正比例函数、反比例函数及二次函数的解析式之间的区别与联系.

设计意图通过一题多变，让学生对这三类函数的解析式有了更深刻的认识，即不同类型的函数，其自变量x的指数不同，从而使学生从“数”的角度体会函数之间的内在联系与本质区别，进一步用联系的观点看函数解析式.

5.应用知识，解决问题

问题5：若矩形的周长为1，你能求出该矩形面积的最大值吗？

追问：本问题可以归结为哪类数学问题？如何转化？

师生活动：教师引导学生建立函数模型中的最值问题，学生独立完成，一生板演，教师点评.

设计意图借助简单的实际问题，引导学生回顾解决实际问题的基本思路：通过建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，也就是函数中的最值问题，渗透建模思想，培养学生解决实际问题的能力.

6.探究学习，发展能力

问题6：若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？

师生活动：通过比较、分析，由学生得出周长与矩形一边长的函数关系式y=2（x+1x）（x>0）.

追问1：如何探索函数y=2（x+1x）（x>0）的最值.

师生活动：教师引导学生回忆以前探索函数性质的一般方法，即画出图象——观察猜想——实验论证的过程.

追问2：画函数图象的方法是什么？有哪些步骤？

师生活动：学生回答，并完成列表、描点、连线整个画图过程，教师电脑演示.

追问3：当x为何值时，该函数有最值？

师生活动：让学生观察图象，猜想得出当x=1时，函数y=2（x+1x）（x>0）有最小值4.

追问4：你能用配方法证明你的猜想吗？

师生活动：学生独立思考后再进行交流，在教师引导下完成配方的过程，教师在黑板上板书：y=2（x-1x）2+4，当x=1x，即x=1时，函数y=2（x+1x）（x>0）有最小值4.

追问5：你能命名函数y=2（x+1x）吗？

师生活动：学生尝试命名，教师引导学生从图象的角度给出此函数是双钩函数.

追问6：对于函数y=x+9x（x>0），当x为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？

师生活动：教师引导学生对照y=2（x+1x）的配方过程，得出当x=3时，函数y=x+9x（x>0）有最小值是6.

追问7：倘若是函数y=x+ax（x>0，a>0），又将如何？

师生活动：教师提问，学生回答，容易得到：当x=a时，函数y=x+ax（x>0，a>0）有最小值是2a.

设计意图创设一个简单的实际问题，既是对学生建模思想的再次应用，也是为后面学生的探索一个新函数作准备.在探索新函数的最值问题中，让学生在经历“实践操作、观察猜想、推理论证、得出结论、知识迁移”的探究学习过程中掌握研究函数的一般方法，为学生今后探究学习新知提供研究方法，真正做到授之以渔.

问题7：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为16元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0001.设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少千米时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？

师生活动：教师引导学生列出运输成本与路程x之间的关系式，并运用函数的知识解决该问题.

设计意图本问题是函数y=x+ax（x>0，a>0）在实际生活中的应用，旨在提高学生实践意识与综合应用数学知识的能力.

7.归纳反思，提炼方法

问题8：对于一个未知函数，我们都是如何展开学习的？经历了哪些学习活动？

师生活动：教师与学生一起回顾问题6和问题7的解决过程，引导学生厘清学习函数的流程：给出解析式，下定义，画图象，得性质，会应用.

设计意图引导学生自己总结出探究学习后的方法和经验，理清思路、整理经验，形成良好的学习习惯，掌握研究套路.

8.课堂小结，梳理归纳

教师引导学生参照下面问题回顾总结：

1.本节课我们复习了哪些知识？体会到哪些数学思想方法？

2.通过本节的学习，谈谈你对初中所学的基本函数的认识.

设计意图让学生回顾课堂经历的基础上，从知识、思想方法等角度总结自己的收获，并通过交流、分享、提升学生对函数的认识，让学生学会用联系的观点看函数.

9.布置作业，独立完成

梳理函数知识，独立完成函数知识树，并与同伴交流.

设计意图通过课后独立建立函数知识树，完成知识的自我构建过程，完善学生自己的知识体系.

3教后反思

本节课是在函数知识全部学完的基础上设计的一节起点低、探究强、价值高的拓展课，是对初中三年所学的函数知识作一整体梳理.整节课以问题为主线，让学生在经历“初遇问题——建立模型——回顾函数——构筑体系——衍生问题——探究新知——解决问题——提升能力”的过程中，掌握学习函数的一般思路，用联系的观点构筑函数知识体系，体会函数是数学内部发展的需要.

3.1从联系角度看函数

在函数复习课中，教师通常分割为“函数及其图象”、“一次函数”、“二次函数”、“反比例函数”进行复习，仅仅把复习停留在函数知识的解题上，并没有用联系的观点看函数.因此，在学生的认知中，各种类型的函数之间、函数与方程（组）、不等式之间是各个割裂的知识独立体.为使学生能从联系的角度看函数，系统思考函数与函数、函数与方程（组）、不等式之间的关系，本节课通过“设计矩形花坛”问题的四次追问，初步让学生感知到同一个问题中，引进适当的变量或常量，可以建立各种函数模型，从而学会从运动变化的角度对客观事物进行数量化研究，体会函数是解决实际生活问题的需要；通过学生自主、合作完成“问题3”、“问题4”，构建函数知识树，让学生感受函数与函数之间、函数与方程、不等式之间的密切联系，引导学生把点状、零散的函数知识整体化、系统化，使之形成较为完整的知识和能力体系，真正起到化零为整、系统思考知识体系的目的.

3.2从发展角度建函数

学习一种函数大致包括以下四个内容：①通过具体实例认识函数；②研究函数的图象和性质；③探索函数与相应方程的联系；④利用函数解决实际问题.为使学生掌握函数的学习套路和方法，能用学过的函数的研究方法类比地学习新函数，本节课设置了“问题6”、“问题7”，让学生经历学习函数的一般过程：建立模型——概括概念——画出图象——研究性质——实际应用，引导学生学会数形结合地研究函数性质，并在活动的基础上进行数学思想方法的概括，使学生不仅学到函数的有关知识，而且在知识的学习过程中不断提高学习的能力，形成可迁移的数学活动经验，发展了学生一般观念的迁移能力和继续学习的能力，这对今后的函数学习有着积极的促进作用.

参考文献：

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社.2012.

[2]见海荣.关注学生发展，整体把握概念教学——以函数教学概念为例[J].初中數学教与学，2014（10）：22-24.

作者简介徐晓红（1977—），女，中学高级教师，主要从事教学设计及中考命题研究.