研习名著朝花夕拾，深刻理解函数图像——《初中数学学习指要》学习体会

☉江苏南通田家炳中学 严 莉

研习名著朝花夕拾，深刻理解函数图像
——《初中数学学习指要》学习体会

☉江苏南通田家炳中学 严 莉

近读期刊，关注到北京市东城区教师研修中心退休数学教研员贺信淳老师的作品——《从多角度审视一道中考试题说开去——谈对初中数学教育现状之惑》（见文1）.贺老师基于“理解数学”的高度对当前各地中考大量的“坐标系拉台，平面几何唱戏”的“压轴题”进行了有力的批判，并直言这是一种“怪怪的”试题.那么函数学习与教学的本质是什么呢？作为教师，该如何深刻理解函数概念呢？循着这些追问，笔者“链接”着找来贺信淳老师的著作《初中数学学习指要》（上、下册）（见文2、3），该书不同于当前各种版本中数学知识杂乱排列的现状，而是按知识块系统呈现各个知识模块、知识体系，笔者主要研习了该书上册“第五章 函数及其图像”，本文整理该章的学习心得，供分享.

一、“函数及其图像”内容简述

这一章中主要分六小节，第一节是关于坐标的几个问题，在定义了平面直角坐标系之后，配发的例题都是很有“数学味”（与所谓“生活味”相比）的.比如：

例1 回答下列问题：

（1）设P点的坐标为（a，b），如果ab>0，那么P点在第几象限？如果ab≤0，指出P点的位置.

（2）设Q点在第三象限的角平分线上，它的坐标是（m+1，m2+3m-2），求m的值.

简评：这样的习题沟通了代数不同领域知识之间的关联，有效促进学习者联系起来学，而不是将知识碎片化、零散化.

在坐标系基本概念之后，还安排学习坐标系下的对称（关于x轴、y轴、原点对称），平面内两点间的距离公式（该知识在世纪之初的初中教材中被删减）.

第二节是怎样理解函数概念.作者针对初中数学课本上的那段经典的函数定义“设在某变化过程中有两个变量x和y.如果对于x在某一范围内每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y叫作x的函数，x叫作自变量”给出如下理解：首先，函数概念涉及两个变量（自变量x和函数y）；第二，所涉及的两个变量要有某种确定的对应关系（单值对应），这种对应关系是函数关系的本质.特别指出，如果两个变量之间虽有一定的相依关系，但这种关系不是“唯一确定”的对应关系，那么这两个变量就不存在函数关系.并举例“一块种植小麦的土地，收获量与施肥量之间是有一定相依关系的，但是，它们之间不存在‘唯一确定’的对应关系.施肥量为5公斤/亩，那么收获量是多少呢？不唯一确定，因此收获量与施肥量之间不存在函数关系”.第三，自变量x是有一定的取值范围的.概括起来说，构造函数概念的三个因素是：两个变量，自变量的取值范围，两个变量之间的对应关系.为了更深入、全面地理解函数概念，还应认清自变量与函数是相对的，可以互相转化.并结合匀速运动中，路程、时间、速度之间的函数关系，就是可以转化的来理解.

第三节是怎样求自变量的取值范围.作者先概述了五类函数解析式（整式、分式、根式、指数式、对数式），并跟进例题讲解这些函数解析式中自变量取值范围的研究.然后结合实际意义或几何意义的问题，强调自变量需要满足的具体条件.

第四节是正比例函数、反比例函数与一次函数的特征，第五节是二次函数的基本性质.这两节的内容与现行初中教材上的内容基本一致，研究的套路和顺序也类似，即从概念、图像与性质展开，强调了“密切数与形的结合，研究函数图像与性质”，作者指出：要深刻理解它们，必须做到见了函数式立刻想到（画出）它的图像，并能结合图像记忆与运用它的性质；反之，见了函数的图像（直线或双曲线或抛物线）能求出函数的解析式，并能根据图像的特征说明函数式中的k和b或相关系数的正负号.也就是“从数到形”与“从形到数”的运用.

第六节是用函数观点认识代数式、方程与不等式.首先是用函数观点认识代数式，作者指出“含有字母的代数式，可以看作是含有某一个字母变数的函数表达式.例如3t-2、a2-a+1分别可以看作是关于t的一次函数式与关于a的二次函数式.而a2-3ab+2b2，既可看作关于a的二次函数式y=a2-3ab+2b2，也可以看作关于b的二次函数式y=a2-3ab+2b2.就当前的各版本数学课本来看，都没有这个内容的介绍，值得我们思考.在用函数观点认识方程与不等式时，作者提供了下面的框图（如图1）表示，能一目了然.

图1

图2

值得一说的是，在这一节最后，作者安排了一道例题：

例2 设一元二次方程x2+（m-5）x+1-m=0的一个根大于3，另一根小于3，试求m的取值范围.

解析时构图（如图2），分析出当x=3时，二次函数的值小于0，可得不等式32+（m-5）×3+1-m＜0，解之，得m＜2.5.

作者最后指出，讨论一元二次方程根的分布，是数学中的一个重要课题，题目类型很多，有易有难，上面的例题是其中一种简单类型，关于这个问题更深入的讨论，将放到高中研究.

二、关于“函数及其图像”的学习体会与教学思考

1.函数是一个“整体”，认识从“孤立”走向“关联”.

研习该书的函数及其图像的最大体会就是感受到函数是一个整体，作者用6个小节来讲解函数及其图像，而前三个小节都是针对函数的概念与相关概念进行叙述，没有急于分述一次函数、反比例函数、二次函数，而是带领研习者整体感受函数的概念、函数的本质、函数与之前的一些数学知识如何联系，特别是最后一节用函数观点认识代数式、方程与不等式，更是加强了我们对整体的认识.以函数观点认识代数式来看，笔者在近期一次模考试题中，曾讲过一道类似观点的考题，这里链接如下：

考题1：已知代数式-2x+4.

（1）-2x+4______x的函数（填“是”或“不是”）；

（2）当x取3-a时，请你以a的取值为横坐标，对应的-2x+4的值为纵坐标，画出其图像；

（3）若（2）中的图像与横轴、纵轴分别相交于点A、B，点P在线段AB上（不与A、B重合），P到横轴、纵轴的距离分别为d1、d2，求d1d2的取值范围.

教学记录：因为学生不熟悉以函数观点看代数式，或没有深刻理解函数的本质，故这道考题的第（1）问很多考生都无所适从，认为这不符合函数y=kx+b的形式，故判定-2x+4不是x的函数.

图3

2.通过不同的问题情境重视函数自变量取值范围的教学.

研习该书的第二个体会就是作者十分重视函数自变量的取值范围.不仅在讲解函数概念的本质时特别强调函数自变量的取值范围，而且用两个小节从不同角度（解析式特点、生活情境）讲解函数自变量的取值范围.而就我们在当下的不少初中课本上的函数内容来看，明显淡化了函数自变量取值范围的教学要求，这也使得学生面临一些中考综合题时，常常因为忽视对自变量取值范围的讨论而影响考题的整体求解.这应该引起我们的教学重视.这里引用一道模考题，就体现了重视自变量取值范围教学的重要.

考题2：如图3，在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=120°，点E从点B出发，沿BC和CD边移动，作EF⊥直线AB于点F.

（1）当点E运动到C点时，求DF的长；

（2）设点E移动的路程为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式.

教学记录：就我们批阅所见，不少学生因为缺少对自变量取值范围的理解，在解答第（2）问时错漏较多，突出表现在只考虑点E在BC边上一种情况.

3.函数教学要特别重视数形结合思想方法示范与训练.

函数是沟通数形的重要数学概念，借助平面直角坐标系，可以把函数解析式对应的图像精确绘制，从而研究函数的性质.这个过程中体现出来的数形结合思想是很多老师都会重视的.然而在研习该书时，我们注意到作者特别强调数形结合的重要性，善于从不同角度举例说明，包括“由数到形”“由形到数”“数形互助”指导.上面例2就是数形结合的一个好例子，而且这种例子不仅训练了学生对二次函数图像的理解与运用，又启示了下一学段（高中阶段）学生将要系统研究一元二次方程根的分布情况.想来，这类“承上启下”的数学知识恰恰是我们初中教师要多关注和研究的.

1.贺信淳.从多角度审视一道中考试题说开去——谈对初中数学教育现状之惑［J］.数学通报，2013（12）.

2.贺信淳，乔家瑞，明知白.初中数学学习指要（上册）——献给初中同学［M］.北京：科学出版社，1989.

3.贺信淳，孙维刚，乔家瑞，明知白.初中数学学习指要（下册）——献给初中同学［M］.北京：科学出版社，1989.