一类耦合薛定谔系统稳态解的存在性研究

李 廷，张 晶

(哈尔滨师范大学)

0 引言

研究如下非线性的薛定谔方程组

(1)

其中λ≥0,N≥3,p∈(1,2*-1). 方程(1)的解(u,v)∈H1(RN)×H1(RN), 则称这个解为稳态解. 当这个稳态解(u,v)≠(0,0)(或u>0,v>0)时, 称这个解为方程的非平凡(或正)的稳态解. 如果这个解(u,v)≠(0,0)是方程(1)所有非平凡的稳态解中能量最小的, 则称这个解为基态解. 当这个基态解u>0,v>0时, 称这个解为正的基态解. 显然方程(1)的稳态解是泛函Iλ:H1(RN)×H1(RN)→R的临界点.

(F1)～(F3)是文献[1]中提到的Berestycki-Lions条件，且Berestycki, Lions在此条件下取得了方程(2)的基态解.

-Δu+u=up

(2)

-Δui(x)=gi(u(x)),i=1,…,n

(3)

1 预备知识及引理

H∶=H1(RN)×H1(RN),

范数： ‖(u,v)‖2∶=‖u‖2+‖v‖2

引理1.1[7]假设N≥3,up,vp满足假设(F1)-(F3), 则对于λ∈(0,1), 方程(1)有一个正的径向对称的基态解(uλ,vλ), 且uλ,vλ∈C2(RN).

-Δv+v=vp,v∈H1(RN)

(4)

X∶=S1×S2,

M1∶=J1(U0),M2∶=J2(V0)为(2)和(4)的最小能量, 其中U0∈S1,V0∈S2,则M1>0,M2>0[7].不失一般性, 假设M1≤M2.

引理1.2X在Hr中是紧的, 存在常数C2>C1>0,使

C1≤‖U‖,‖V‖≤C2,∀(U,V)∈X.

则存在常数C>0使

(5)

其中Q:=[0,t1]×[0,s1],定义

下面固定一个δ∈(0,min(C/2，C1/2)), 相应的0<σ<1,λ1>0使引理1.4成立.

|cλ-dλ|<α0,|cλ-(M1+M2)|<α0,

∀λ∈(0,λ0).

2 主要结果及证明

则对于下面初值问题存在全局解ψλ:Hr×[0,+∞)→Hr

可以很容易得到ψλ满足以下三条:

(1)ψλ(u,v,θ)=(u,v),当θ=0或(u,v)∈Hrλ或|Iλ(u,v)-cλ|≥α时

接下来首先证明对任意(t,s)∈Q, 存在

产生矛盾.则得以证明.

则对∀(t,s)∈Q,有Iλ(r(t,s))≤cλ-α0.

下面证明r(t,s)∈Γ.对∀(t,s)∈Q(t0,t1)×(s0,s1)可得

定理2.2 假设N≥3,up,vp满足(F1)～(F3),则存在λ0∈(0,1)使对任意0<λ<λ0,方程(1)有一个径向对称的稳态解(uλ,vλ)且(uλ,vλ)∈C2(RN)×C2(RN).

设λn∈(0,λ0)(n∈N)是当n→∞时λn→0的一个序列.则在H1(RN)×H1(RN)中，当n→∞时，子列(uλn,vλn)→(U,V),其中U是(2)的正的径向基态解，V是(4)的正的径向基态解.

所以在Hr中(un,vn)→(uλ,vλ),(uλ,vλ)∈Xδ可得uλ≠0,vλ≠0.因此(uλ,vλ)是方程(1)的径向对称解.由标准正则性定理可知uλ,vλ∈C2(RN),且Iλ(uλ,vλ)≤dλ.

设λn∈(0,λ0)(n∈N)是当n→∞时,λn→0的一个序列.由引理1.4的证明过程很容易证出子列(uλn.vλn)在Hr中当n→∞时强收敛于(U,V),其中U∈S1,V∈S2,U是(2)的正的径向基态解,V是(4)的正的径向基态解.

参 考 文 献

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