1/6-Cantor集的顶点的球密度计算

周玉雯，朱智伟

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆 526061）

1/6-Cantor集的顶点的球密度计算

周玉雯，朱智伟

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆 526061）

本文研究自相似集E的顶点的上、下球密度计算问题，其中E是由作用于闭区间[0,1]上的3个压缩比为1/6的相似压缩函数生成.通过在区间[0,1]上引入一个以E为支撑的自相似测度，然后利用该自相似测度定义某点处的上、下球密度.结合E的自相似结构，将上、下球密度的计算问题转变成计算闭区间[1/6,1]上密度函数的最大值和最小值问题，从而得到集合E上各顶点的上、下球密度的精确值.

1/6-Cantor集；自相似集；上球密度；下球密度

0 引言

分形几何是20世纪下半叶形成的一个几何学新分支，它既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门重要学科.目前，分形的研究与应用已经渗透到自然科学的各个领域.从数学的角度看，测度与维数是分形研究中2个最基本的问题，许多关于分形的数学问题都围绕测度与维数展开.

自相似集是一类特殊的分形集合，具有分形的2个特点：精细结构和涉及无限生成过程，其所表现出的自相似性给研究这类集合带来方便，因此，自相似集是目前研究成果最为丰富的一类分形集.经典的自相似集包括3分Cantor集、Sierpinski垫片、Von Koch曲线等[1-2].

球密度是刻画分形局部结构的重要参数，与测度的研究密切相关.通过计算分形集上某些点的上、下球密度值，可以从中了解到分形集测度的某些定量性质[2].

本文中，笔者将讨论作用在闭区间[0,1]上的迭代函数系统{f1(x),f2(x),f3(x)}所生成的自相似分形集上某些点的球密度计算问题，其中由此生成的自相似集称为1/6-Cantor集.注意到当取时，由迭代函数系统所生成的自相似集就是经典的3分 Cantor集，关于3分Cantor集上点的球密度计算问题，已经在文献[3]中得到圆满解决.

1 基本概念

设D⊂R是有界闭子集，函数 f:D→D.如果存在c(0

命题1[2,4]设{f1,f2,…,fm}是D⊂R上的迭代函数系统,函数 fi的压缩比为ci,0

定义1[2,4]设E是由迭代函数系统{f1,f2,…,fm}生成的自相似集，函数 fi的压缩比为ci,i=1,2,…,m.称满足下列条件的实数s为E的自相似维数.

定义2[4]设E是由迭代系统{f1,f2,…,fm}生成的自相似集，fi的相似比为ci,i=1,2,…,m.s为其自相似维数，称测度μ是支撑为E的自相似测度，如果μ满足

这里A为R上任一Borel集.

根据自相似测度μ的定义知，E是μ的支撑，且满足如下条件[4]：

定义3[2,4]设E是由迭代函数系统{f1,f2,…,fm}生成的自相似集，s为其自相似维数，即s满足式（2），μ为式（3）所定义的自相似测度.对任一x∈R,点x关于μ的上球密度和下球密度分别定义为

其中B(x,r)表示以x为中心、半径为r的球,对一维情形，B(x,r)=(x-r,x+r).

根据定义3，显然有-Ds(μ,x)≤-Ds(μ,x).当-Ds(μ,x)=-Ds(μ,x)时，我们称E在点x处的密度存在，并记公共值为Ds(μ,x),对于大部分集合，尤其是自相似集而言，Ds(μ,x)几乎处处不存在.

2 主要结果

图1-Cantor集构造过程的前2步

本文的主要结果为定理1与定理2.

3 主要结果的证明

3.1 定理1的证明

由对称性以及上、下球密度的定义，不难看出对于闭区间[0,1]的2个端点x=0与x=1来说，他们的上球密度相等，下球密度也相等.同样，对于任何中所有长为的闭子区间的2个端点的上、下球密度也分别相等.因此，对任何只需证明中所有长为的闭子区间的左端点的上、下球密度分别等于原点O处的上、下球密度即可.

事实上，设 xn为 En中某一闭子区间的左端点，则有根据压缩函数fi(i=1,2)的性质及s=log63,对任何满足的实数r,有

由此又得到

3.2 定理2的证明

首先证明下面的引理1.

引理1 条件同定理1，则有

因此对任意的0

由上球密度定义得到

另一方面，存在一个r0,使得

令6k+1-6⋅3k+1>0,得到k≥2,即当k≥2时，f′(k)>0,此时 f(k)为单调递增函数，从而k≥2成立.余下证明当k=1时结论也成立.

不难看出当k>1时，g′(k)<0,从而有

对所有k>1成立.余下考虑k=1的情形，即的情形，此时又分4种情形讨论：

[1] 周作领，瞿成勤，朱智伟.自相似集的结构——Hausdorff测度与上凸密度[M].北京：科学出版社，2010.

[2]KENNETH F.分形几何——数学基础及其应用[M].曾文曲，译.北京:人民邮电出版社，2007.

[3] FENG Dejun,HUASu,WEN Zhiying.The pointwise densities of Cantor measure[J].J MathAnalAppl,2000,250:692-705.

[4]FENNETH F.Techniques in Fractal Geometry[M].New York:John Wiley&Sons,1997.

The Computation of Densities of Vertexes on One Sixth Cantor Set

ZHOU Yuwen，ZHU Zhiwei
（School of Mathematics and Statistics,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China）

This paper is about the computation of densities of vertexes on self-similar setE,whereEis generated by three functions on interval[0,1]with contraction ratioA self-similar measureμ with support Eis defined,and the upper spherical density and lower spherical density are defined with respect to this measure.By the similarity ofE,the exact values of spherical densities are obtained by the maximum of density function on interval

One Sixth Cantor set；self-similar set；upper spherical density；lower spherical density

O174.1

A

1009-8445（2017）02-0001-07

（责任编辑：陈 静）

2016-11-14

周玉雯(1994-),女,河南潢川人,肇庆学院数学与统计学院2012级学生.

朱智伟(1968-),男,云南禄丰人,肇庆学院数学与统计学院教授,博士.