“数学王冠上的明珠”

朱昌海

摘 要：文章编制了五位数内的“全因维数表”，解决了十位数内的分解质因数问题，并且以“全因维数表”的系统理论破解了“哥德巴赫猜想”“1+1”的难度证明，同时以颠覆性创新理论一举破解了“1+2”“1+3”“2+2”“2+3”...“a+b”（a≥1，b≥1）的难度证明等问题。

关键词：“1+1”的难度；维数密率；数对递加；连孪质数；孪生高因二维数

一、引言

目前人们对质数的认识只停留在概念上，也就是人们只认识什么叫做质数，而对于任意给出一个非“5”尾的奇数（如2×3×5×7×11×13×17×19×23×29+1=6469693231），这个数是质数还是合数，如果是合数，质因数又有哪些，人们就很难得出答案了。这是本文要解决的主要问题。

小学五年级数学下册在“你知道吗？”一栏目中举例说明“分解质因数” （如4=2×2、15=3×5、30=2×3×5），

这些数非常简单，一看就知道质因数是什么，不需要费脑去寻求，这就说明仅仅是一种概念的认识。然而对于一些较大的数就无从着手了。例如，《高中数学选修2—2》（2005年版）第111页习题B组第一题：

“观察

2×3+1=7

2×3×5+1=31

2×3×5×7+1=211

2×3×5×7×11+1=2311

2×3×5×7×11×13+1=30031

2×3×5×7×11×13×17+1=510511

……

由此可以发现什么规律，利用这个规律，用反证法证明‘质数的个数是无限的。”

显然，命题者认为这个“规律”的结论是前面连续n个质数的积加上1，结果也是一个质数。这个命题犯有严重的逻辑性错误，因为前面连续n个质数的积加上1，其和只能说明前面n个质数中的任何一个除这个和，结果都余1，并不能说明后面的质数除这个和，结果都存在余数。因此命题者的错误不仅有：

2×3×5×7×11×13+1=30031=59× 509；

2×3×5×7×11×13×17+1=510511=19×97×277；

而且还有：

2×3×5×7×11×13×17×19+1=9699691=347×27953；

2×3×5×7×11×13×17×19×23+1=223092871=317×703763；

2×3×5×7×11×13×17×19×23×29+1=6469693231=331×571×34231。

……

恐怕后面已經很难找到质数了。犯有这一错误的主要原因是前面四个数7、31、211、2311可以靠观察来发现它们都是质数，但后面的数还能观察吗？如果这是一个质数表达式，则需要一个完整的理论证明。命题者就犯有这样一个没有理论证明就下结论的错误！

二、研究问题

（1）质数的个数和编写五位数内的“全因维数表”“质数表”。

（2）分解质因数和质数的判定。

（3）“哥德巴赫猜想”“1+1”的难度破解。

多少年来，世界各国的数学家对解决这些问题无从着手，而将这些问题视为难题。其中世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”“1+1”的证明难度之大，被称为 “数学王冠上的明珠”，我国数学家陈景润在这一领域取得了举世瞩目的成果，他证明了其中的“一个大偶数=

质数+质数×质数（即‘1+2）”，而“一个大偶数=质数+质数（即‘1+1）”还未得到证明。由于一个大偶数可以无限大，其证明的难度也就可想而知了。因其难度之大，据说世界数学奥委会悬赏一千万美金吸引人破解呢。

三、研究方法

（1）查表累计法。

（2）查表法、最少次数搜索法。

（3）维数密率法、数对递加法、多项和的完全平方公式法。

要想解决以上三个问题，这三个研究方法必须一一对应用上。

四、研究结果

1.质数的个数和编写五位数内的“全因维数表”“质数表”

（1）质数的定义和合数的定义。在数的分类中，如果按倍数来分，就有质数和合数之分。一个数按倍数来分有以下积的各种表达形式：

A.3=3×1，7=7×1，23=23×1

B.14=2×7，21=3×7，49=72

C.42=2×3×7，63=32×7，27=33

D.462=2×3×7×11，36=22× 32，54=2×33，81=34

E.1=12+13=...=1n

A中的数叫做一维数（即我们常说的质数），它的定义是只能表达成它自身和“1”相乘的数；B中的数叫做二维数，它的定义是可以表达成不含有它自身的两个因数的积的数；C中的数叫做三维数，它的定义是可以表达成不含有它自身的三个因数的积的数；D中的数叫做四维数，它的定义是可以表达成不含有它自身的四个因数的积的数；E中的“1”叫做任意维数。它的定义是可以表达成任意次自身相乘的数。这样定义质数和合数，语言更加精练准确。教科书上只有质数和合数之分，没有提及维数。本文提及维数，就是能更好地将合数进行分类。“维数”是数学上的新名词。

（2）质数的个数、维数的密率。任意给出一个不大于100000的偶数，不大于这个偶数的质数有多少个？它们分别是什么数？目前在数学上都弄不清楚。为了解决这个问题，笔者编写了一本五位数内的“全因维数表”（编写方法：从3开始，每3个格就有一个因数3；从5开始，每5个格就有一个因数5；从7开始，每7个格就有一个因数7；依此类推，是乘方数从高次方编起，电脑编程很快），在表中累计不大于100000的质数一共有9591个，它们如后表所记。有了“维数表”和“质数表”，对解决以下问题就不难了。质数的密率=质数的个数÷（奇数的个数-1）。由“维数表”可知，当2n=106或2n=118时，质数的密率是1∶2；当2n=1016时，质数的密率是1∶3；当2n=8402时，质数的密率是1∶4；当2n=64512时，质数的密率是1∶5。由此可见，随着2n的不断增大，质数的密率就不断减少而接近于零。可见质数存在无穷多，同时也存在无穷大。

2.分解质因数和质数的判定

（1）查表法。在十位数内，对任意给出一个非“5”尾的奇数，这个数是质数还是合数？目前数学上很难解决，现在有了“维数表”和“质数表”，对解决这个问题就容易了。对于小于100000的所有奇数，可查“维数表”就能直接得到答案。如96497在“维数表”内是空格（96497可以分为09、64、97，在左上角查09，在上行查64，在左列查97，64和97的交叉点是空格），则这个数就是质数；又如96499在“维数表”内是132×571，则96499=132×571。这个数的质因数也就直接查出来了。

（2）搜索法。对于大于100000而小于10000000000的所有奇数，就必须除以小于某个奇数最大不足平方根的所有质数，才能判断其是质数还是合数。如2×3×5×7×11×13×17×19×23×29+1=6469693231，其最大不足平方根为√6469693231=80434+，大于29而小于80434的所有质数有7863个。如果6469693231不能被这7863个质数之一整除，则这个数是质数，否则是合数。事实上当除到第57个质数331时就整除了（即6469693231=331×19545901），接下来将19545901重复除以331直到不能整除为止（如能整除就出现331的乘方数）。而19545901的最大不足平方根为√19545901=4421+，大于331而小于4421的所有质数有534个，如果19545901不能被这534个质数之一整除，则这个数是质数，否则是合数。事实上当除到第37个质数571时就整除了（即19545901=571×34231），接下来将34231重复除以571直到不能整除为止。而34231的最大不足平方根为√34231=185+，但185<571，故34231是质数。所以有6469693231=331×571×34231。又如99980827、99980829这两个数，它们最大不足平方根都为9999+，大于1而小于9999”的质数有1228个，它们都被这1228个质数之一整除（即99990827=3557×28111，99990829=9311×10739），它们是孪生高因二维数。再如99982241、99982243、99982247、99982249，这四个数的最大不足平方根也都为9999+，但这四个数都不能被这1228个质数之一整除，所以这四个数都是质数，它们是连孪质数（这两组数寻找很难，要编“缺因维数表”才能找到，此表也能满足应用需求，但人工编写容易产生错漏）。尽管这个方法也很烦琐，但搜索的次数是最少的。如果将相应程序输入电脑，很快就能得出答案。

3.“哥德巴赫猜想”“1+1”的难度破解

20世纪60年代，我国数学家陈景润证明了“哥德巴赫猜想” 中的“1+2” ， 直到1973年发表，轰动了整个世界，时至今日，半个世纪过去了， “1+1” 的证明还未取得任何进展。现在笔者来论证“1+1”。

已知：一个偶数=2n（n≥3的自然数），

求证：存在两两成对的质数，使得每对质数都能满足（质+质）=2n。

证明：两个奇数之和等于2n，可以有下面四种表达方式：

质+合=2n

质+质=2n

合+合=2n

1 +质或合=2n

第四个表达式一定存在并且只有一个。由“维数表”可得下面数据：当2n=2000时，质数的个数=301（个），合数的个数=998-301=697（个），

质数的密率=—，合数的密率=

—。（质+质）的密率=（—）2，

（合+质）和（质+合）的密率=2×

—×—，（合+合）的密率=（—）2，

并且三者密率之和等于1。

三者密率之和就是（質数的密率+合数的密率）2 的展开式。

由于给出的2n无论多大。质数的个数总是有限的。所以一定存在以上密率，并且三者密率之和都等于1。由此可见当2n达到一定大时（2n≥64时）， （质+质）、（质+合）、（合+合）

三者相互并存，缺一不可；而当2n<64时，要缺的只有（合+合），不会是（质+

质）和（质+合）。所以无论2n多大，一定存在（质+质）=2n。

由于质数分布很不均匀，理论数据和实际数据存在一定误差。为了弄清这个误差，由维数表可得以下数据：

质数的密率=—=0.3016032；

（质+质）的理论密率=0.30160322=

0.090964；

（质+质）的理论个数=0.090964×

499=45（个）；

（质+质）的实际个数=37（个）；

（质+质）的实际密率=—= 0.74148；

密率差=0.091569-0.074148= 0.017421；

同理可得以下数据表。

由下表数据可知：①A1和B1、A2和B2、A3和B3...的 密率差不断减小，也就说明（质+质）的实际数对个数比率从小到大不断接近理论数对个数比率；②C1C2C3...的密率差出现负值，并且绝对值也不断减小，这就说明（质+质）的实际数对个数比率从大到小不断接近理论数对个数比率；③A1A2A3...、B1B2B3...、C1C2C3...中，（质+质）的实际数对都随着2n的不断增大而增多（即数对递加）。由①②③可知，无论2n多大，（质+质）的数对一定存在。不过这里2n的间隔是2000，如果间隔较小而小至2的话，就会出现或多或少或平的波状曲线上升。不管怎么说，（质+

质）的理论数对总是存在的，实际数对总是紧靠着理论数对左右摆动。如果还不足以说明问题的话，那么我们就求（质+质）的实际数对不能再小值。当2n=2000时，（质+合）和（合+合）的理论数对和实际数对分别为221个、225个和243个、237个，那么（质+质）的实际数对最少都有（499-243-225）=31个（都减去其中最大的，如是估算，这个数对不能再少了）。同理可证无论2n多大，（质+质）的实际数对都存在不能再小值，并且都随着2n的不断增大而呈波状曲线增大。这一点最有说服力。至此 “哥德巴赫猜想”“1+1”的理论证明应该已经画上句号。

C1C2C3...中，（质+质）的实际数对比理论数对多，主要是含有因数3的合数对加，出现了（合+合）的数对过多所致。其他质数也有这种情况。

五、讨论

我研究“哥德巴赫猜想”“1+1”不是主题，我的主题是分解质因数，因为分解质因数的教育价值要远比“1+1”大得多。教科书上只是给人一种概念的认识，没有给人一种理性思维而解决实际问题。对此，我编写了一本五位数内的“全因维数表”，解决了十位数内的分解质因数问题。有了“全因维数表”，“1+1”无攻自破。因为随着2n的不断增大，“1+1” 的实际数对就或多或少或平地呈波状曲线上升（即数对递加），也就是说2n越大，“1+1”的实际数对就相对越多。仅这一点就足以说明无论2n多大，“1+1”的数对一定存在。

“全因维数表”不仅解决了“1+1”问题，还可以解决“1+2”“1+3”“2+2”“2+3”...“a+b”（a≥1、b≥1的自然数）等问题。因为对任意给出的2n无论多大，1维数、2维数、3维数...n维数的个数都是有限的，所以它们都存在密率，并且它们的个数和就是所有奇数，我们应用多项和的完全平方公式展开：

（1+2+3+...+n+A）2=12+22+32+...+ n2+A2+2×1×2+2×1×3+...+2×1×n+ 2×1×A+2×2×3+...+2×2×n+2×2×A+...+2×3×n+2×3×A+2×n×A，其中12、22、32...n2 、A2 分别表示“1+1” “2+2”“3+3” ...“n+n”“A+A”，2×1×2、2×1×3...2×1×n、2×1×A分别表示“1+2”“1+3” ...“1+n”“1+A”， 2×2×3...2×2×n、2×2×A分别表示“2+3” ...“2+n”“2+A”...2×3×n、2×3×A、2×n×A分别表示...“3+n” “3+A” “n+A”（A为维数大于n的合数）。我们再将1维数、2维数、3维数...n维数、维数大于n的合数A的密率分别代入公式中的各项，就可以求出“a+b”的各种理论密率，再乘以2n内（奇数的个数-2）÷2，就可以求出“a+b”各种理论数对的个数。由于各维数分布都很不均，所以“a+b”各种理论数对和实际数对都存在一定误差，并非“a+b”的各种实际数对不存在。所以当（2n+2K）（K=0、1、2、3、...的自然数）能使a+b=N时的数对连续存在，那么a+b≤N的各种数对都连续存在。当N=2时，只需2n≥6；当N=3时，只需2n≥12；当N=4时，只需2n≥ 64...当N=18时，只需2n≥39+38m（m为一个质数），可见要使“1+1”的数对存在，只需2n≥6（2n=4是非奇质数）即可。

六、结论

维数密率、数对递加、多项和的完全平方公式，都能证明“1+1”“1+2”的存在，所以“哥德巴赫猜想”不是难题。而难的是：对于任意给出的2n无论多大，“1+1”“1+2”的数对到底有少个？

参考文献：

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