来瞧瞧一伙怪名朋友

文/图 大可

来瞧瞧一伙怪名朋友

文/图 大可

2016年诺贝尔物理学奖，授给了“在理论上发现了物质的拓扑相变和拓扑相”的科学家。

“拓扑”“相”“相变”“拓扑相”“拓扑相变”……在说些什么呀？!

还说跟我们的生活有关！比如，可以大幅度降低电的损耗、手机不再发烫等等。

看来，得先把这些词儿搞个明白！

甜甜圈

拓扑

这是一个当时传得火热的新闻：诺贝尔获奖科学家拿出了三个面包，一个没有洞，类似原味面包，一个有一个洞，类似甜甜圈，一个有两个洞，这是德国、奥地利等国家的人很喜欢吃的碱水面包。

我们把这三个都称作“面包”，意思是不管它们形状怎样（哪怕是半个）、味道如何，都是一类东西——面包，你肯定同意吧？

可是，拓扑就不这么认为，它说，因为有洞没洞，洞多洞少，它们仨是不同性质的三类！

比如，体育课代表发给你一个游泳圈，发给你的同桌一个篮球，说：“好了，你们都拿到了运动器材，接下来看你们的表现了！”拓扑学不干了：“凭什么呀，游泳圈、篮球能用‘都’来统称吗？游泳圈当中是个空洞，在我们拓扑界里属于环面空间；篮球是球面空间，不一样的，好吗！”

环面与球面

全等

拓扑等价

其实想想很有意思，如果按照拓扑学的眼光来看，我们身边的很多东西，不是“环面空间”就是“球面空间”：

比如没有洞的篮球、足球、正方体积木；有一个洞的游泳圈、甜甜圈；有两个洞的碱水面包、开襟衣服（两个袖洞）；有三个洞的套头衫（多了一个套头洞）……

“拓扑”是希腊语的译音，意思是“地貌”，本来主要用在研究地形、地貌的学科上。因为研究内容丰富，现在属于数学中的几何研究的一个分支。

数学要研究的内容很丰富，“几何”是数学中的一个重要方面。“几何”这个词，是明代大科学家、上海人徐光启创造的翻译名词，而原文的意思，是把希腊语“土地”和“测量”合成起来，叫做“土地的测量”，巧得很，跟拓扑一样，都是从地形研究开始的。其实，很多高深的科学知识，都是从研究具体事物开始，渐渐总结出理论知识，这叫——从具象到抽象。

几何，就是研究空间结构性质的。哦，你别以为很高深，你现在学习计算面积、体积，就是研究几何的开始呀!

我们把一块积木与另一块积木叠在一起，如果两块完全重合，就说它俩“全等”。在数学课上，如果画了两个三角形，把它们剪下来，叠在一起完全重合，那么这两个图形叫做“全等形”。

如果对你说：圆柱、长方体、三棱柱是“相等”的，你肯定要嗤之以鼻了吧？

拓扑学却说：这个可以有！拓扑学研究的是几何形状，特别是在连续改变形状后，还能保持不变的一些性质。

连续变形：经过了扭曲、 拉伸或变形。它的意思是可以伸展、变化，但不能撕裂或者合并。比如，可以把原味面包尽情揉捏、拉伸，但是不能挖个洞，那就不是原味面包，而是甜甜圈了。当然，也不能掰开。

我们来体会一下，拿一根橡皮筋，把它拉成圆形、三角形、长方形、梯形……这叫拓扑变形：不管怎么变，橡皮筋上的任何两个点都没有碰在一起，用科学的语言是：没有把两个点重合在一起。从拓扑学的角度看，这些图形都是一样的“等价图形”，这叫“拓 扑 等价”。

如果你把橡皮筋一拧，有两个点重合了，也就是两个点合并了，就成了一个“8”字，这在拓扑变形中是不允许的，从拓扑学来说，就改变了性质，与圆形、三角形等就不等价了。如果把橡皮筋一拧再拧，它与“8”字形的也不等价了。

如果在连续的变形下不会改变，那么这个属性就会被称为拓扑不变量。

了解了对连续性的拓扑定义，对拓扑的“不连续”特征就不难理解了（友情提示：可以想想那三个面包 ），那也是拓扑研究的重要方面。先记住这点，等会儿还会提到哦。

不等价

相

很多物质有“三态”，比如当水哗哗流的时候，我们称它是“液态”；当寒冬降临，小河里的水结成了冰的时候，我们称它是“固态”；当水壶的水烧开，飘出水蒸气的时候，我们称它为“气态”。

固态是一种“相”，液态是另一种“相”，气态也是一种“相”。

相变

如果给固相的冰加热，它会变成液相的水，这样的变化就是“相变”。

我们在今年第二期的《4D打印》里讲到了水分子：一滴水就是无数水分子组成的。水相变的原因，是因为在不同温度情况下，水分子的间隔、排列方式会起变化。当分子“士兵”们乖乖地整齐排列的时候，就呈现出冰的模样；当把冰加热后，分子“士兵”们虽然还排列着，但不那么整齐了，还都有些自由活动的小动作，呈现出来的就是水的模样；当加温的温度再升高，分子“士兵”们就完全放开手脚地运动起来，呈现出来的就是水蒸气的模样。

拓扑相

在高温或者低温下，不管水分子“士兵”们多么活跃，呈现出来的液相、气相还是很有序的相，因为它们的“自由运动”还是遵循规律的。比如，自然凝结的冰，是水分子按照网格排列起来的晶体。

顺便说一句，很多固态的物质都是晶体，比如食盐是立方体，明矾是八面体，石榴石是菱形十二面体等等。

人们曾经认为，很薄很薄的物质，分子的“自由运动”不会遵循规律，意思是不会呈现有序的“相”。但是科学家发现，只要温度足够低，它们也可以有有序的“相”。这样的相，相变特别奇异，被称为“拓扑相变”。

拓扑相变

科学家这样描述：一群士兵分别围绕几个军官转圈。为了一直转下去，有一群顺时针转圈的A1队士兵，就要有一群逆时针转的B1队士兵，有一群顺时针转圈的A2队士兵，就要有一群逆时针转的B2队士兵……

一开始，A1队军官和B1队军官配对，A2队军官和B2队军官配对……

A1队士兵只补充给B1队，B1队士兵只补充给A1队，A2队士兵也都只补充给B2队，B2队士兵也都只补充给A2队……

后来A1队军官和B1队军官、A2队军官和B2队军官……都分开了，各管各地自由运动，士兵也不再补充给配对的那一方，而是送给所有A、B方，这样拓扑结构发生了改变，从而产生了拓扑相变。

这个拓扑相变的描述，说的是成对结合到分离的过程，这个过程需要用拓扑的不连续特征来描述，科学家把这个过程称为“拓扑激发”。

成对结合——A1与B1配对结合、A2与B2配对结合……

分离—分开，各管各自由运动。

科学家发现，在很薄很薄的物质上有很多“旋”，低温的时候是两个两个成对出现，也就是成对结合，温度一升高，一下子全都分开成一个个的了，玩得可叫那个嗨，完全没有顾及原来成对中的另一方的意思。

如果你准备泡澡，倒也可以试试这个“拓扑激发”：在浴缸放满水后先别进去，两个手在水里分别顺时针与逆时针划圈，当然必须一起划，出现的是一对对漩涡，这时对水流动没有任何影响；接着左右手不配合地“自由运动”，对远处的水流就产生了影响。

拓扑学的用处

我们以前讲过“量子”、DNA、计算机、机器人、建筑学等等，都有拓扑学的功劳。比如机器人的手臂要多少个关节、高楼大厦的样子与周围场地的关系（是不是又看到了地形、地貌、土地测量的影子了），等等。