矩阵的初等变换应用研究

赵怡欣+刘陆军

摘要：矩阵的初等变换是高等代数中重要的工具，该文主要探讨了利用矩阵的初等变换解决在矩阵、空间向量、求解线性方程组等方面的问题，并给出了相应的理论依据以及解题技巧。

关键词：初等变换；矩阵的秩；空间向量；线性方程组

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）25-0228-02

一、基础知识

矩阵的初等变换。（1）互换矩阵中任意两行位置，記作r■？圮r■。（2）用一个非零数k乘矩阵的某一行的所有元素，第i行乘k，记作kr■。（3）把矩阵的第i行元素的k倍加到第j行对应元素上，记作kr■+r■。

二、初等变换在矩阵方面的应用

1.利用矩阵的初等变换求矩阵的秩。

例：设A=■，求矩阵A的秩。

解：A=■■

■■■■■

由于上面阶梯形矩阵有三个非零行，所以R（A）=3。

2.利用矩阵的初等变换判断矩阵是否可逆并求它的逆矩阵。

定理1：矩阵A可逆的充分必要条件是A是方针且A≠0（非退化）及矩阵A可逆。

A=■？圳A=■≠0

推论：A可逆，则A可由初等行变换化为单位矩阵。

R■■…R■■R■■A=ER■■…R■■R■■=A■ （1）

若A可逆，构造分块矩阵AE？摇，其中E为与A同阶的单位矩阵，则：

A■AE？摇=A■AA■E？摇=EA■？摇 （2）

由（1）式A■=R■■…R■■R■■代入（2）式左边，R■■…R■■R■■AE？摇=EA■？摇

上式说明分块矩阵AE？摇经过初等行变换，原来A的位置变换为单位矩阵E，原来E的位置变换为我们所要求的A■，即：AE？摇■■EA■？摇■，或用初等列变换：■■■■■

例：矩阵A=■，判断A是否可逆，并求A■。

解：利用初等变换将矩阵化为阶梯形，若对应的行列式不为零则矩阵可逆。

由于A=■=■=3≠0，则A可逆。

（AE）=■→■，所以A■=■.

3.初等变换在空间向量方面的应用。

（1）利用矩阵的初等变换判断向量组的线性相关性。例：判断下列向量的线性相关性。α■=（1，-2，1，-5），α■=（2，-1，3，1），α■=（4，-3，-1，6）.解：向量组

α■，α■，…，α■线性相关的充要条件是它构成的矩阵A=（α■，α■，…，α■）的秩小于向量的个数m；向量组线性无关的充要条件是R（A）=m.以α■，α■，α■为行构成的矩阵记为A。A=■→■，所以矩阵A的秩为3（向量的个数），因此向量组α■，

α■，α■线性无关。

（2）利用矩阵的初等变换求向量组的秩与极大无关组。例：设向量组。α■=（1，-1，-1，3），α■=（-1，1，-3，-1），α■=（-1，-3，1，-1），α■=（-3，-1，-1，1），求向量组的秩以及此向量组的一个极大线性无关组。解：向量组α■，α■，…，α■的极大线性无关组所包含的向量个数称为该向量组的秩。如果我们要求向量组的秩，就把每一向量看作矩阵的一列，进而求向量组的秩转化为求矩阵的秩，然后就可以得到向量组的秩。以α■，α■，α■，α■为列的矩阵记作A。A=■→■→■→■→■，所以向量组的秩为3，且它的一个极大线性无关组为α■，α■，α■。在求一个向量组的极大无关组的同时，也可以写出其他向量用极大无关组的线性表达式。这里α■=-α■+α■+

α■。

4.矩阵初等变换在求解线性方程组中的应用。我们对方程组进行的初等变换实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未知量并未参与运算，因而对方程组施行的初等变换可以用相应的矩阵变换来表示。应用矩阵的初等变换来求解矩阵方程计算简便，而且容易掌握。

例：线性方程组x■-x■+2x■=-4x■+x■+tx■=4x■-tx■-x■=-t■，试问t取什么值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？

解：对方程组的增广矩阵作初等变换。

■

→■

当t=-1时，方程组无解；当t≠-1且t≠4时，方程组有唯一解；当t=4时，方程组有无穷多解。

参考文献：

[1] 张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]王萼芳，石生明.高等代数[M].第三版.北京：高等教育出版社，2003.

Application Research on Elementary Transformation of Matrix

ZHAO Yi-xin，LIU Lu-jun

（School of Mathematics，Nanjing Normal University Taizhou College，Taizhou，Jiangsu 225300，China）

Abstract：The elementary transformation of matrix is a important tool in advanced algebra，this paper mainly studies using the elementary transformation of matrix，to solve in the matrix，vector space，solving system of linear equations and other issues，and gives the corresponding theoretical basis.

Key words：elementary transformation；rank of matrix；space vector；linear equations