有效运用数学实验 解决数学思维瓶颈——一道试题中运用数学实验的可行性纪实

江苏省高邮市车逻镇初级中学 刘 菲

有效运用数学实验 解决数学思维瓶颈
——一道试题中运用数学实验的可行性纪实

江苏省高邮市车逻镇初级中学 刘 菲

董林伟主任对数学实验的概念是这样界定的：“为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在数学思维活动的参与下，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学实践探索活动。它是通过动手动脑‘做’数学的一种数学学习活动，是学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等）在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动。”通过数学实验，可以适当降低学生探索数学问题的难度，使数学学习进程与学生的思维水平和经验背景更趋科学合理。在实验过程中，学生可以通过操作与体验积累基本活动经验，加深对数学的领悟与理解，培养发现问题和提出问题的能力，从而形成解决问题的方法，进而提升数学素养。

一、试题

如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）

A.4B.5C.6D.10

在一次考试中，这道试题的得分率非常低，通过方法的引导和点拨，大部分学生仍无法理解为什么是6周，还会有“5条边不应该是5周吗”的问题存在，于是教者就想到设计一个“圆绕着图形滚动”的数学实验，通过动手操作直观形象地发现圆绕着图形滚动的运动轨迹，从而解决这个问题。

二、实验设计

（一）实验目的

经历圆形硬纸片在不同轨道上滚动的操作过程，探究圆在不同轨道上滚动时圆心的路径及路径长，提高学生解决问题的能力。

（二）实验准备

圆形硬纸片（留有小孔圆心），直尺，可调节角度的活动角，三角板。

（三）实验内容与步骤

活动一：在直线上无滑动地滚动圆。

将圆形硬纸片沿着直尺边缘无滑动地滚动。

（1）描出圆心运动的路径，观察此运动路径是什么图形？

（2）若圆的半径为r，圆滚动一周时，圆心运动的路径长是多少？为什么？

（3）若线段AB＝4πr，则半径为r的圆从点A无滑动地滚动到点B需转圈；

活动二：在折线上无滑动地滚动圆。

1.将圆形硬纸片沿着可调节角度的活动角边缘无滑动地滚动。（活动角可调节为90°，60°，任意角α）

（1）描出圆心运动的路径，观察此运动路径是什么图形？

（2）①若∠BAC＝90°，角的两边AB＝2πr，AC＝2πr，则半径为r的圆从点B无滑动地滚动到点C需转圈；

②若∠BAC＝60°，角的两边AB＝2πr，AC＝2πr，则半径为r的圆从点B无滑动地滚动到点C需转圈；

③若∠BAC＝α，角的两边AB＝2πr，AC＝2πr，则半径为r的圆从点B无滑动地滚动到点C需转圈。

2.将圆形硬纸片沿着三角板的边缘无滑动地滚动一圈。

（1）想一想：圆心运动的路径是什么图形？

（2）画一画：描出圆心运动的路径，与你的想象是否一致？

（3）算一算：计算半径为r的圆形纸片滚动一圈圆心运动的路径长，路径长与三角板三边长度之间有何关系？

（4）思考：如果圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动，圆心运动的路径又如何？

活动三：在曲线上无滑动地滚动圆。

1.取两个半径相等的圆形硬纸片，固定其中一个，另一个沿着其边缘无滑动地滚动一周。

（1）想一想：圆心运动的路径是什么图形？

（2）画一画：描出圆心运动的路径，与你的想象是否一致？

（3）算一算：半径为r的圆形纸片滚动一周，圆心运动的路径长与圆形纸片的周长之间有何关系？

2.任意画一条曲线，将圆形硬纸片沿着这条曲线的边缘无滑动地滚动。

（1）想一想：圆心运动的路径是什么图形？

（2）画一画：描出圆心运动的路径，与你的想象是否一致？

（3）说一说：圆心运动的路径长与曲线的长之间有何关系？

（四）实验设计说明

本实验是为新苏科版义务教育教科书《数学》九年级上册第2章“对称图形——圆”涉及的问题而设计的，通过圆在直线上、折线上、曲线上的无滑动地滚动，探究其圆心运动的路径及路径长，提高学生解决问题的能力。首先，通过圆在直线上无滑动地滚动的操作过程，直观发现圆心运动路径的形状，感受“等距”特征。再通过计算路径长，弄清圆滚动时圆心运动的路径和圆移动的距离之间的关系。然后通过圆在折线上无滑动地滚动的操作过程，先画后猜想圆心运动路径的形状，验证猜想的正确性，计算路径长度，并想象与思考圆在三角形内部边缘无滑动地滚动的情形。最后，圆在曲线上无滑动地滚动，感受圆心运动的路径与曲线的长之间的关系。

三、实验感悟

《课标》（2011年版）中明确指出：“数学活动经验的积累是提高学生素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要标志，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在‘做’的过程和思的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。”本案例中，操作与思考并行，思行结合的学习方式，促成学生对数学的认识从感性向理性飞跃。试想，如果没有亲身体验，有些学生就无法理解圆在五边形上滚动需要6圈，多出的1圈是怎么来的……实验后，学生不仅仅理解了以上问题，还有了其他思考：圆在矩形的内部沿着边的边缘无滑动地滚动会涉及哪些问题？甚至有些学生都能自己设计问题。显然，这些思考成果离不开实验活动，而实验活动中的思考又促成了活动经验的积淀。

数学实验教学的设计，不能简单地受任务驱动，仅仅为了让学生动手操作而缺乏具有适宜的数学思维成分的设计，否则将难以达成理想的预设教学效果。像这样的数学实验设计就顺其自然，顺应学生的需求，数学实验中有动手操作，也有思维的发展，一切都顺理成章，教学效果也比较显著，更重要的是学生很容易地解决了自己想要解决的问题，成就感油然而生，从而激发了学生学习数学的热情，也提高了学生的数学核心素养。

[1]董林伟．初中数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏科学技术出版社，2013：6.

[2]钱云祥．数学实验：让数学思考走向深刻[J].中学数学教学参考，2015.10：4-6.

[3]董林伟主编．义务教育教科书数学实验手册九年级全一册.

【备注：本文系省第11期教研重点课题《初中数学实验课程资源的开发与利用》（课题编号2015JK11-Z066）的阶段性成果之一】

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