江苏省昆山经济技术开发区高级中学 刘胜男
山重水复疑无路,柳暗花明又一村
——例谈通过追问培养学生的解题能力
江苏省昆山经济技术开发区高级中学 刘胜男
追问,简言之就是追根究底地发问。对于数学教学来说,追问就是基于教学目标设置一系列问题,然后进行由此及彼、由浅入深的追问,以形成严密有序、节奏井然的课堂教学流程。
追问的优势是显而易见的,它可以启发学生再思考、培养学生发现问题,也可以通过追问的层层引导,培养学生的解题能力。在追问过程中,学生可以自然形成探究问题的意识,实现对学生高层思维能力的培养。
下面以两个实例,谈谈追问对学生解题能力的培养。
这道题目有一定难度,大多数学生刚读到此题时没什么思路,选择了放弃,部分进行了尝试的学生,也觉得解题有些障碍。在试卷讲评过程中,我通过追问让学生自己发现并体会了解题的过程。
师:大家对本题感到没有思路,那么再次审题,在△ABC中,给出了两个条件都是什么条件?
生:边长。
师:那么可以考虑什么办法?哪个定理公式涉及边长?
生:余弦定理。
师:那么尝试一下。
这是第一次追问。通过追问,学生从没有思路到发现了一条可以尝试执行的思路。
(学生进行运算,稍后投影两学生运算过程)
师:两位同学都选择了余弦定理,唯一的区别是选择的角不同。那么先考虑一下,如何表示面积?
师:边长是否已知或者能表示?
生:可以。
师:那么用正弦能表示吗?怎么表示?
生:正弦、余弦平方和为1。
师:刚才两位同学表示的方法相同,有没有哪一个更好?(第二次追问)
生:第一个更好。因为要平方计算,第一个简单。
师:非常好。这就要求大家在运算之前先考虑一下,一样的方法,是否可以做出选择哪个计算更简便。
第二次追问,引领学生思考,在可解决的途径中选择更优。
分子可以看成以x2为自变量的二次函数。
此处大部分同学不能进行下去,但我所期待引领学生达到的思考过程已经比较充分了。
本题的解决虽已完毕,但我决定抓住机会,再引申一下,让学生透过表面现象找出更加深刻的本质,从而寻求出更好的解决办法。
于是,我进行第三次追问。
师:本题解决完毕后回顾一下,开始时入手较难,选择了余弦定理后,计算较为麻烦。那么再次审题,我们是否能从其他角度来尝试解决这道题目?
师:求△ABC面积的最大值,又已知底边长AB=2,即求什么的最大值?
生:高的最大值。
师:高应该怎么表示?
生:不知道……
师:高又可以称作什么?
生:……
师:也就是,从顶点到底边的______?
生:距离。
师:非常好。直接求距离仍旧困难,那么我们是否可以把这段距离看成点到直线的距离?这样,我们需要做什么?
生:建系。
学生叙述:以AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立直角坐标系。则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),化简有x2+y2-6x+1=0。
通过第三次追问,让学生体会到本题可以引申发现的内在本质,即阿波罗尼斯圆。通过这个简单例子的示范,既能对经典的阿波罗尼斯圆产生较为深刻的印象,也能发散学生的思维,拓宽思路,在面对一个难以入手的问题时,思考是如何逐步发现条件着手解决的,又是如何开拓条件使问题得到简易解决的。
例2如图,海上有A,B两小岛相距10km,船O看A岛和B岛所成的视角为60°,从船O上派一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业,且OC=BO,设AC=xkm。
(2)晚上小艇在C处发出一道光线照射A岛,B岛至光线CA的距离为BD,求BD的最大值.
难点在于第二小问。为了让学生自己发现解决途径,我选择了追问的方法。
师:第二问难住了大家。那么思考一下,想求BD的最大值,如何表示BD呢?你是否有什么想法?
生1:我想利用题目中的直角三角形,用边和角的三角函数表示BD。
师:好。你想怎么表示?
师:那么其他同学能帮助他吗?
生2:sin∠BAD=sin∠BAC,然后在△ABC中,可以看看正弦定理行不行。
师:大家尝试写一下。
师:又进行不下去了?sinC怎么处理?
师:BC呢?
生4:BC=2OB。
师:非常好。为什么不用OC?
生4:前面求出是OA与OB的关系,sinC也是用OA表示,用OB可能更好。
师:非常好。大家整理一下。
师:接下来如何求最值呢?
生:可以求导。
学生运算完毕。
师:刚刚进展不下去时,选择向第一小问中已求出的关系式靠拢,虽然过程艰苦,但还是成功地解决了问题。回顾一下我们的解题过程,有没有哪里还可以简化的?
生5:BD可以直接用BCsinC表示,在大直角三角形里。中间可以省掉很多步骤。
师:非常好!通过这一步简化,我们也能发现,有时候未必直接用上题中最简单的那个长度10就可以让过程最简,还需要看看下面我们问题的需要。还有补充吗?
生6:最后还可以分离一下,利用函数单调性求最值,比直接求导运算简单。
师:很好!
学生没有补充了。此时我继续追问。
师:我们虽然解决了这个问题,但是中间也经过了很多的尝试和运算,过程略麻烦。能不能换个视角?我们从头来看,求BD距离,除了像上面那样直接表示BD,还有什么别的思路吗?
师:距离BD还可以看成什么?
生7:难道要建系?
师:可以考虑,但是题中的条件不是非常易用。
生8:距离也可以看成是高。
师:什么的高?
生8:△ABC,用AC做底,BD就是高了,而且AC=x,也算已知。
师:非常好!那么△ABC的面积还可以用其他方式表示吗?
生8:如果用BC做底,高可能不是很好算,要用相似。
这样马上就把面积表示出来了!
师:大家的回答都非常精彩!这样我们可以更加迅速、准确地计算出BD,求最值的方法同上。
师:通过大家的思考,我们发现了很多难题只要多次思考,根据条件和所求不断追问,启发自己,往往都能找到可操作的解决途径,不仅能解,还可以找到最优解。
我所尝试的追问,大家也可以不断尝试,在做题审题过程中自行不断追问,这样问题的解决之路会一点点展开。
正所谓,山重水复疑无路,柳暗花明又一村。
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