高考应用题备考建议

郑荣坤

[摘要]数学应用能力，一直是学生尤其是高中生所应当具备的。随着“新课标的实施以及高考改革”，数学应用能力愈发重要。而数学应用题是考查数学应用能力的一种主要形式，虽然高考卷数学应用题的难度适中，却使许多考生捉襟见肘。高考数学不仅要结合教材，把握精髓，回归教材理念，同时还应举一反三，跳出教材，充分利用教材知识，全面提高学生的解题能力。

[关键词]高考；应用题；分析；教材

高考数学应用题的命制始终遵循以教材中的数学知识为基础，进行构建、重组和创新。教师提升“回归教材”“跳出教材”的认识层次，让教材中习题的基础性、典型性和示范性得到落实，才能达到高效的复习效果。

一、回归教材

关注全国各地高考、摸拟试题，了解高考信息，刷高考摸拟试题，强化数学应试能力和技巧。大部分学生在备考过程中，盲目刷题，置教材（本文所指的教材都是新课标人教A版）于不顾。殊不知，教材是高考命题的依据，不管高考题如何灵活多变，它都源于教材。因此笔者常告诫学生：“万变不离其宗，勿忘其本”。

1.高考应用题源于教材

纵观历年各地高考卷的应用题，总能在试题中找到教材例题、习题的影子，有些试题来源于教材例题、习题的改编。

如2016年全国高考卷（Ⅰ）第16题：某家高科技型企业在生产A和B两种产品时需要甲、乙两种原材料。假如生产一件A产品，那么需甲材料共为1.5kg，乙材料为1kg，需耗费5小时；假如生产一件B产品，则需甲材料共为0.5kg，乙材料为0.3kg，需耗费3小时。经计算得知生产一件A产品的利润是2100元，而生产一件B产品利润则是900元。现此企业有甲材料共计150kg，乙材料共计90kg，那么在不得超过600工时的前提下，该企业生产A、B产品的利润总和最大值为（ ）元。

教材中的应用题：一工厂采用A、B两种配件用来生产甲、乙两种产品，已知每生产一件甲产品将耗用A配件4个，同时耗费一个工时；而若每生产一件乙产品则将耗用B配件4个，同时耗费2个工时。该工厂每天最多能够从配件厂获得A、B两种配件总数为16个和12个，如果按每天工作8小时计算，那么该厂所有可能的生产安排是什么？如果每生产一件甲产品将会获利2万元，而每生产一件乙产品将会获利3万元，那么采用何种生产安排获取的利润最大？

这两题都是线性规划模型的应用题，都是工厂如何安排生产，可获得利润最大的应用题。对比发现两题同出一门，由此可见，教材是高考命题之本，高考应用题的备考必须“立足教材”。

2.有效备考教材中应用题

教材中的应用题凝聚了专家们的心血，无疑是精选之题。如果教师简单地讲解教材中应用题，教学课堂必然枯燥无味。此时此刻师生互动，寓教于乐，课堂气氛自然活跃。

下面案例说明如何有效备考教材中应用题（必修5《等差数列》活期存款问题）：

教师：“我有一个邻居叫小明，他今年春节收了1000元压岁钱。如果把这1000元按活期存入银行，那么第20年末的本利和为多少元？”

设计意图：讲故事呈现教材中的应用题，把问题换成学生身边的实际问题，贴近学生的生活，激发学生解决问题的热情。

教师：我国当今的储蓄制度明确规定：银行以单利计算支付存款所得利息，依照单利的特定公式：本利和=本金×（1+利率×存期），如果以活期存入金额1000元，年利率为0.5%。

教师：依照单利公式计算，请列表说明到5年末的本利和金额？

设计意图：教学生如何审应用题、分析应用题，通过列表弄清题意，分清条件和结论，理顺应用题中的数量关系。

学生：那么按照单利，5年末的本利和分别是：

5年内各年末的本利和（单位：元）组成了数列：1005、1010、1015、1020、1025。

教师：这5个数组成的数列有什么特点？

设计意图：分析应用题中的数量关系，从而初步确定数学模型。

学生：第2项起，每一项与它的前一项的差等于5（同一个常数）。

教师：借助计算机excel软件，如何求出第20年末的本利和？

设计意图：现代信息技术在数学中的应用，借助现代信息技术求模。

教师：在没有计算机软件的条件下，如何求出第20年末的本利和？

设计意图：现代信息技术与传统计算方法的有机结合，探究传统求模方法。

以上便是解决应用题的有效模式——“审题”“建模”“求模”，只要掌握好解题模式，教材中应用题自然迎刃而解。

二、跳出教材

教材例题、习题多数具有可变性和可研究性，如果仅就题论题，无疑会浪费寶贵的课程资源。高考命题的原则之一是源于教材而高于教材，这就要求我们要跳出教材，以教材中的多个例题、习题为原型，巧妙改编，形成有一定综合性的试题。改编例题、习题可以从如下两方面着手：

1.把教材中的例题、习题改编为应用题

教材中的例题、习题，大部分为数学化问题，只考查学生运用相应知识解决问题的能力，未能培养学生的数学阅读能力、思维抽象化能力和数学建模能力。由于数学很多时候来源于生活，又服务于生活，所以大部分教材中的例题、习题都可以巧妙改编，服务于应用题教学。

下面是笔者对教材中例题的改编案例：

2.对教材中的应用题进行改编拓展

教材中应用题虽然都是编写者精心设计而成，由于受篇幅与精华性等各个因素的影响，学生有时并不认同它们在现实生活中可能会出现这一“事实”。虽然一些应用题的确具备现实背景，但在学生们眼中依然是“冰冷”的，是不具备“人文气息”的。教材中的很多应用题服务于它们所在章节，所考查的知识面较狭隘，为了较好服务于高考备考，可以对它们进行改编拓展。

下面是笔者对教材中应用题的改编案例：

教材中的应用题：体育场的某一角看台座位排列布局如下：第一排为15个座位，自第二排开始每一排均比前一排多出2个座位。你能用 表示第n排的座位数吗？第10排能坐多少个人？

改编1：小明同学去电影院看电影，发现电影院的座位为如下排列：第一排只设15个座位，自第二排开始每一排均比前排多2个座位。

（1）小明买的电影票是第10排，这一排能坐多少人？

（2）小明买的电影票是第n排，这一排能坐多少人？

（3）如果电影院共有20排，这个电影院最多能坐多少人？

改编2：小明同学去电影院看电影，发现电影院的座位为如下排列：自第二排开始每一排都比前排多的座位数相同，第三排只有12个座位，第八排有32个座位。

（1）若小明所坐的这一排有120个座位，请问这是第几排？

（2）如果电影院共有30排，这个电影院最多能坐多少人？

事实上，纵观历年全国各地高考应用题，都与教材有着千丝万缕的联系，所以笔者提出备考建议：回归教材，跳出教材。教师在备考过程中，要充分挖掘，巧妙加工教材中的例题、习题；同时也要引导学生利用例题、习题进行自主或合作探究，才能更好地激发学生的备考热情。

参考文献：

[1]罗亮，彭轩娣.熟悉课本，轻松应对广东高考[J].中学数学研究，2011，（03）.

[2]江华.立足课本 对接高考——以课标卷为例分析高考题源[J].教学考试，2015，（06）.

（责任编辑 史玉英）