微专题“导数及其应用”的热点考点赏析

吴洪生��

摘 要：导数在高数解题过程中的运用，最基本的作用是将解题过程变得简单高效，将复杂的高数问题简单化，为学生下一阶段的数学学习做一个优质的铺垫。导数在数学教学中的引入，加深了学生对函数的理解，激发了学生的创新思维，同时引导学生将导数解题的方式运用到实际生活中去，所以导数是数学教学中有利的辅助工具。教师应注重引导学生用导数进行解题，并且能熟练掌握、灵活运用使其成为数学教学的教学目标之一。

关键词：微专题；导数

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）09-093-2

《高中数学课程标准（实验）》明确指出：“导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。”在导数模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，进而理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵，并应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用。“导数及其应用”是高考的必考内容，是高考的重要考点，也是高考的热点之一，因此教师必须予以高度重视。

一、明确考纲要求

1.了解导数概念，理解导数的几何意义；

2.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数不超过三次）。

3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）。

4.会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数不超过三次）。

5.会利用导数解决某些实际问题。

二、把握命题方向

1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点。

2.填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、极值和最值；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题。

3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为高考的热点，在全国各地的高考试卷中时有出现。

三、热点考点赏析

1.利用导数研究曲线的切线

例1 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，则切线方程为 。

分析：设切点为（x0，lnx0），而y=lnx的导数为y′=1x，在切点处的切线斜率为k=1x0=lnx0x0，得x0=e，所以k=1e，切线方程为y=1ex。

方法提炼：求曲线的切线方程有两种类型

（1）求曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线方程，其方法如下：

①求出函数y=f（x）在点x=x0处的导数；②写出切线方程为y=y0+f′（x0）（x-x0）。

（2）求曲线y=f（x）过点P（x0，y0）的切线方程，其方法如下：

①设切点为A（xA，yA）；②由k=f′（xA）=f（xA）-f（x0）xA-x0解出xA；③写出切线方程。

2.利用导数研究函数的单调性

例2 函数f（x）=x-lnx的单调递减区间为 。

分析：函数定义域是（0，+∞），由f′（x）=1-1x=x-1x<0，解得0

例3 若函数f（x）=x3+x2+ax+1是R上的单调函数，则实数a的取值范围是 。

分析：x∈R，有f′（x）=3x2+2x+a≥0恒成立，所以Δ=4-12a≤0，解得a≥13。

方法提炼：函数的单调性与导数的关系：

若x∈（a，b）总有f′（x）>0，则f（x）在（a，b）上为增函数，反之不然；

若x∈（a，b）总有f′（x）<0，则f（x）在（a，b）上为减函数，反之不然。

3.利用导数研究函数的极值

例4 设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0。

（1）当b>12时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；

（2）求函数f（x）的极值点。

分析：（1）函数f（x）=x2+bln（x+1）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=2x+bx+1=2x2+2x+bx+1，令g（x）=2x2+2x+b，则g（x）在（-12，+∞）上递增，在（-1，-12）上递减，

g（x）min=g（-12）=-12+b，当b>12时，g（x）min=-12+b>0，

g（x）=2x2+2x+b>0在（-1，+∞）上恒成立，∴f′（x）>0，即当b>12时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递增。

（2）分以下几种情形讨论：

①由（1）知当b>12时，函数f（x）无极值点。

②当b=12时，f′（x）=2（x+12）2x+1，

所以，x∈（-1，-12）时，f′（x）>0，x∈（-12，+∞）时，f′（x）>0。

所以，b=12时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点。

③当b<12时，解f′（x）=0得两个不同解x1=-1-1-2b2，x2=-1+1-2b2

（ⅰ）当b<0时，x1<-1，x2>-1。此时f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点x2。

（ⅱ）当00，在（x1，x2）上有f′（x）<0，此时f（x）有一个极大值点x1和一个极小值点x2。

综上可知：当b<0时，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点x2；当0

方法提炼：利用导数研究函数极值的步骤：

①确定函数的定义域；②求函数y=f（x）的导数f′（x）；③求方程f′（x）=0的根；④列表确定极值。

4.利用导数解决实际问题

例5 某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）t万件与年促销费用x万元（x≥a，a为一个正常数）满足t=3-2x+1，已知2016年生產该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的15倍（产品成本包括固定和再投入两部分资金）。

（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（注：利润=销售收入-总成本）

（2）该厂家2016年投入的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？

分析：（1）因为t=3-2x+1。每件产品的销售价格为15×8+16tt（元），

所以，2016年的利润y=t（1.5×8+16tt）-（8+16t+x）=4+8t-x=4+8（3-2x+1）-x，

即y=28-16x+1-x（x≥a）。

（2）因为y′=16（x+1）2-1，由y′=0解得x=3（舍去-5），

令y′>0得0

令y′<0得x>3，所以，x∈（3，+∞）时，y为减函数，

所以，当a>3时，y在[a，+∞）上为减函数，x=a时，y最大；

当a≤3时，y在[a，3）上为增函数，在[3，+∞）上为减函数，x=3时，y最大。

综上所述，当a>3时，该厂家2016年投入的促销费用a万元时，厂家的利润最大，当a≤3时，该厂家2016年投入的促销费用3万元时，厂家的利润最大。

方法提炼：用函数知识解决实际应用问题，首先是仔细审题，建立函数模型，然后是解模，在解模过程中常会以导数为工具，利用导数研究模型函数的极值或最值。这类问题的考查对考生的能力要求比较高，需要综合运用函数与导数知识灵活加以解决。