例析柯西不等式的应用

郑在田++胡福军

随着课改的不断深入，柯西不等式已经成为我们分析和解决问题的不可缺少的工具. 本文通过几道例题对柯西不等式在高中数学中的应用加以总结，以期对大家的学习有所帮助.

柯西不等式的一般形式如下：设为实数，则当且仅当或存在一个实数，使得时，等号成立.

在证明不等式中的应用

例1 已知，

求证：

证明

点评 使用柯西不等式要紧扣三点：（1）确定不等号的方向；（2）注意观察不等号两边的结构特点，要经过恰当变形，化为符合公式的结构形式；（3）注意取等号的条件. 本题中式子的分母不能再作变化，因此将括号外面配凑成能够与之约分的式子，故考虑题中所给的方法.

在求值方面的应用

例2 若（ ）

A. B. 2

C. D.

解析 由题意和柯西不等式得，

.

当且仅当时，等号成立.

答案 B

点评 通过观察知，的结构符合柯西不等式的二维结构，利用公式后能得到一个常数，验证式子成立. 因此只需考虑取等号的条件，即可求得.

在求最值方面的应用

例3 已知，求的最小值.

解析

，

当且仅当，即时，等号成立.

的最小值为.

点评 根据的形式及这个特殊条件，结合柯西不等式的形式特征，构造出符合柯西不等式结构特征的式子，从而求出最值. 这种通过观察、分析题中式子结构得证的方法是应用柯西不等式的常规思路.

在解析几何中的应用

例 4 已知椭圆与直线相切，求切点的坐标.

解析 设切点

则

由柯西不等式得，

.

当且仅当，即时，等号成立.

代入直线方程得，

故切点的坐标为（2，）.

点评 本题的背景是解析几何，常规方法是求导或者利用方程的求解. 如果能转换思想，跳出解析几何求解的定势思维，发现有乘积的和为定值的结构和平方和为定值的结构，因此可以仿照例2的方法证明，利用取等号条件求解.

在求参数范围问题中的应用

例5 已知实数满足，求的取值范围.

解析 由得，

.

由得，

.

.

故的取值范围是

点拨 本题巧妙地将看作三维柯西不等式的基本量，为要求的参数，观察到式子结构均符合柯西不等式应用的基本特征，最后可以构造关于的不等式求解. 此题的突破口是将和其他几个变量分离，依此方法亦可求其他几个变量的取值范围. 因此柯西不等式是消除多个变量的一个重要手段.

在解方程问题中的应用

例6 设，且满足：，，求的值.

解析 由柯西不等式得，

①.

而

在①式中，由柯西不等式取等号的条件得，②.

将②式与联立解得，

点评 本题与例4、例5的结构类似，但结果不是求范围而是求具体值，因此仍可考虑利用柯西不等式成立的条件解题. 一般地，三个未知数、两个方程是不能求解的，若能求解则成立情况有其特殊性，而柯西不等式等号成立的条件刚好可以滿足这些，并且可以得到比原来更容易的等式，再结合其他已知条件求解即可.

在解函数问题中的应用

例7 已知

求证：.

证明

，

由柯西不等式得，

令

则

当>0时，>0.

当<0时，<0.

函数上单调递减，在上单调递增.

故.

.

点评 本题的背景为函数，常规方法是：先求导，再利用函数的最值求证. 但经过配方后利用柯西不等式巧妙化去参数，转化为求函数的最值. 对于这类问题，一般很难想到柯西不等式，因此利用柯西不等式求解此类问题要求大家对柯西不等式的结构特征和作用非常熟悉. 另外，巧妙消参是柯西不等式的重要作用之一.

在解数列问题中的应用

例8 已知数列的通项为，

求证：

证明

点评 求解此类不等式的常规方法是将进行放缩，然后借用等比数列求和或者裂项相消法求和得证. 考虑到它具有和的结构，可以配凑出相应式子，变换出，最后利用等比数列求和公式求证. 本题的解法巧妙在变换出的式子，该式可以直接应用等比数列求和.

柯西不等式的结构对称，功能强大，应用非常广泛，如果能熟记公式，深刻理解其内涵，将会在很多题型中起到事半功倍的作用. 应用的关键是要在熟悉公式的基础下恰当变形，变形方式一般有等价变形、配相应辅助式、合理换元、配系数等技巧.