着眼数学思想解读复数问题

刘族刚++万舒婷

尽管在新课程中《复数》仅安排4个课时，内容只涉及四个知识点，可以说内容少、难度低，但复数与其他章节的知识联系紧密，极易与三角、向量、解析几何、极坐标等交汇，渗透着丰富的数学思想方法. 本文从数学思想方法的角度，以列举范例的形式，对复数的概念、几何意义以及四则运算进行解读，以便帮助读者更加深入地理解、掌握复数知识.

类比的数学思想

例1 下列命题中，真命题的个数为（ ）

①设，则是的充要条件；

②，；

③，或；

④若二次方程有实数根，则由可得，.

A.个 B.个 C.个 D.个

解析 由知，，所以；但由，不能得到，进而不能得到，如，但不成立，故①错误. 当时，显然；但当为虚数时，可能为负，也可能无大小，如，是虚数，从而无大小，故②③都错误. 对于方程，当时，其根的虚实及个数可以用判别式的符号来判断；但当时，其根的虚实及个数不能用判别式的符号来判断，例如方程有实根，但，故④错误.

答案 A

点评 不做类比，难知区别与联系！学习复数，务必要强化复数与实数、复数与向量等的类比，尤其是它们的“不同”，避免出现知识性的低级错误.

函数与方程思想

例2 已知（其中是的共轭复数），，求的值.

分析 函数是自变量由实数集到复数集的推广，尽管定义域变了，但函数的最核心要素（对应法则）没变，本函数的法则是自变量的倍与自变量的共轭复数之和减去.

解 设，则，

显然，易于验证.

∵，

∴.

又，

∴，即.

由两复数相等的充要条件得，

∴.

故.

点评 函数是高中课程的主线，函数思想、方程思想渗透于各个模块和各个章节. 在学习复数的过程中，一定要注意知识之间的联系，习惯于用函数与方程的眼光“打量”复数.

分类讨论思想

例3 已知关于的一元二次方程的两个复数根分别为，且，求实数的值.

分析 本题是一个实系数一元二次方程的根的问题. 由题意知，要用到“根与系数的关系”，但在求解时要注意根的虚实，不可想当然.

解 因为是的根，

所以. （*）

又因为，

（1）当，即时，，

，

将（*）代入得，.

（2）当，即时，为共轭虚数，

不妨设，则.

则，从而.

再由知，.

故此时，或此时

综上所述，，或.

评注 实数扩充到复数后，实数中的有些结论推广到复数集后不一定成立，此时分类讨论是解决问题的突破口.

化归转化思想

例4 设复数满足（是虚数单位），则为 .

分析 本题要计算复数，必然涉及复数的代数形式、复数的运算和复数相等的知识.

解 设，

则，即为.

亦即.

由复数相等得，

则或

所以，或.

点评 复数（往往多指虚数）问题，一般都是先通过设复数的代数形式，后化归转化为实数（函数、方程、不等式等）问题进行求解. 值得注意的是，你能看透本题答案的本质吗？若将本题改为求复数的平方根，你会做吗？

数形结合思想

例5 已知复数满足，，求值.

分析 复数的模的几何意义、复数的代数表示等，使得复数与复平面的点、复数与复平面的向量建立起对应关系，这些为在知识交汇处命题搭建了平台，也为用数形结合解题提供了思路. 从几何角度入手分析这个题，因为，所以所对应的点都在以原点为圆心，半径为的圆上. 再结合的实部、虚部的特殊性，不难从图中直接观察出复数或.

解 由得，均在单位圆上（如下图）.

由不难找出的对应点为，

且对应于“和向量”，

又，

故平行四边形為菱形，且图中.

所以由图可看出，，或.

故或

点评 在本题求解过程中，若设则；再根据，又可以得到两个方程. 这样一来，就必须解一个四元二次方程组，变量设的太多，且为二次，显然不利于问题的解决. 所以我们在解题时，应注意巧设，尽可能减少变量. 本题若由复数的几何意义和数形结合求解，是一种很重要的思维方法.

复数集是实数集的扩充，涉及复数概念与运算的常规题型对大家来说较为容易. 但“数学思想是数学的灵魂”，“与其说是学习数学知识，不如说是学习数学思想方法”. 在学习时，如能从数学思想的高度审视复数，解题时，你便会发现你自己有更多的“套路”，便会有“一览众山小”的感觉.