复数的概念及其运算

喻发凯

复数的概念

1. 对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫作虚数；当且时，叫作纯虚数；当且仅当时，. 两个复数中有一个为虚数时，这两个复数不能比较大小.

2. 两个复数的实部和虚部分别相等，则这两个复数相等. 这就是说，如果，那么.

例1 在下列命题中，正确命题的个数为（ ）

①两个复数不能比较大小；

②若是纯虚数，则实数；

③是虚数的一个充要条件是；

④若是两个相等的实数，则是纯虚数；

⑤的一个充要条件是；

⑥=1的充要条件是.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 复数为实数时，可以比较大小，①错误；当时，，②错误；为实数时，也有，③错误；当时，，④错误；⑤⑥正确.

答案 B

例2 计算： （表示虚数单位）.

解析 ∵当时，，

.

.

答案 96+i

例3 关于的方程有实根，求实数的取值范围.

错解 ∵方程有实根，

.

解得，，或.

分析 判别式只能用来判定实系数一元二次方程的根的情况，而该方程中与并非实数.

正解 设是其实根，代入原方程变形为，由复数相等的定义得， 解得，.

复数的几何意义

复数与复平面上的有序实数对一一对应，与复平面上的向量也一一对应.

例4 复数（，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

解析 由已知得，

.

若在复平面对应的点在第一象限，则

而此不等式组无解，即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.

答案 A

例5 已知复数的模为，则的最大值为_______.

解析 ，

.

故在以为圆心，为半径的圆上；而表示圆上的点与原点连线的斜率.

如图，由平面几何知识知，的最大值为.

答案

例6 已知复数满足，求的最大值与最小值.

解析 设，

则满足椭圆方程.

.

又，故当，时，；当时，.

点评 （1）的几何意义表示点到点的距离；（2）中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点.

复数的四则运算

1. 复数的加法运算满足交换律、结合律，复数的乘法运算满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律. 复数运算的核心思想是复数问题实数化，即i满足实数的运算律.

2. 复数加减法的几何意义分别对应向量加减法的平行四边形法則、三角形法则，与向量加减法的区别是复数加减法对应的向量起点都在坐标原点.

3. 复数与其共轭复数在复平面上对应的点关于实轴对称.

例7 计算：.

解析 原式

.

点评 复数运算的几个常用技巧：

（1）（）；

（2）；

（3）时，，.

例8 已知复数，满足，，证明：.

解析 设复数，在复平面上对应的点为，，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，.

设， ，

则由向量与向量垂直知，.

，

故.

点评 （1）设（）的共轭复数为，则；.

（2）为实数.

（3）为纯虚数.

例9 对任意一个非零复数，定义集合.

（1）设是方程的一个根，试用列举法表示集合. 若在中任取两个数，求其和为零的概率；

（2）若集合中只有3个元素，试写出满足条件的一个值，并说明理由.

解析 （1）∵是方程的根，

∴，或.

不论，或，

都有，

于是.

（2）取，则，及.

于是. （也可取.）

复数的综合运用

复数与不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合运算，往往与复数的模相关. 利用复数的概念将复数问题转化为实数问题是基本方向，利用复数的性质可以优化解题过程.

例10 设是虚数，是实数，且.

（1）求的值及的实部的取值范围；

（2）设，求证：为纯虚数；

（3）求的最小值.

解析 （1）设，，，

则，

因为是实数，，所以，即.

于是，，.

所以的实部的取值范围是.

（2）.

因为，，所以为纯虚数.

（3）

.

因为，所以.

故.

当，即时，取得最小值1.

例11 设复数，满足，其中，求的值.

解析

，

把代入上式得，

.

点评 （1），，，特别地有，；

（2），，

，，

.

例12 已知复数满足（i为虚数单位），复数，试确定一个以为根的实系数一元二次方程.

解析 方法一：由题意得，，

则，.

若实系数一元二次方程有虚根，

则必有共轭虚根，即..

故所求的一个一元二次方程可以是.

方法二：设，

则，

即.

∴，以下解法同方法一.

点评 实系数一元二次方程的虚根成对出现，这两个根互为共轭复数.