例析坐标系与参数方程

刘忠君

在学习坐标系与参数方程的过程中，要强化数学思维的培养，重视思想与方法的提炼，加强题型的积累与知识的应用.

点的极坐标与直角坐标

例1 取直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴.

（1）点的极坐标是 ，点的直角坐标是 ；

（2）已知点的极坐标为，则点关于极轴的对称点的极坐标是 ，点关于极点的对称点的极坐标是 ，点关于直线的对称点的极坐标是 .

解析 （1）由互化公式得，点的极坐标为，点的直角坐标为.

（2）画出坐标系（图略），由对称性得，，，.

点评 利用互化公式，将点的极坐标化为直角坐标较为容易，而将直角坐标化为极坐标时，唯一确定，但由（）确定角时，一般应根据点所在的象限取最小正角. 另外，第（2）问也可推广，即点关于极轴的对称点为，关于极点的对称点为，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为.

极坐标方程与直角坐标方程的互化

例2 （1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设两条曲线与分别交于两点，求线段的长.

解析 （1）∵，

∴，即.

∴. 化简得，.

（2）方法1：由得，.

又，

∴.

∴.

由得，A（1，0），.

由距离公式得，.

方法2：联立与解得，

.

又，∴，或.

∴A（1，0），B（1，）. 画出图形（略），由余弦定理得，.

点评 极坐标与直角坐标互化的条件是：极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正方向重合且长度单位一致. 其次，极坐标方程化为直角坐标方程，通常要进行一系列的变形（如三角恒等变形），构造出形如，，等式子，然后进行整体代换. 注意：在对方程进行变形时，方程必须同解，因此要对变形过程加以检验. 另外，在直接利用极坐标方程求解（如方法2）时，一要注意极角的范围，二要结合图形，否则容易出错.

参数方程与普通方程的互化

例3 当时，参数方程（为参数）表示的图形是 .

解析 方法1：原方程可化为①，②，两式相除得，③.

将③式代入②式中并化简得，方程（），其图形是椭圆（除掉点（0，-1））.

方法2：原方程可化为，.

令（，），

则 消去得，（），其图形是椭圆（除掉点（0，-1））.

点评 将参数方程化为普通方程，应根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消参法、三角消参法和变换法. 在消参的过程中，要注意参数的取值范围对的取值范围的限制（即参数方程与普通方程的等价性）.

曲线的极坐标方程、参数方程的求法

例4 在极坐标系中，为极点，半径为2的圆的圆心的极坐标为（2，）.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）是圆上一动点，点满足，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，求点的轨迹的极坐标方程.

解析 （1）设是圆C上任意一点，过点C作CH⊥OM于H点，则Rt△COH中，OH=OC·cos∠COH.

∵∠COH=∠COM=，OH=OM=，OC=2，

∴=2cos，即为所求的圆C的极坐标方程.

（2）设点Q的极坐标为，∵，

∴P的极坐标为（）.

代入圆C的极坐标方程得，=4cos（），即.

∴，此方程即为点Q的轨迹的极坐标方程.

点评 （1）求曲线的极坐标方程的一般步骤：①建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点；②由曲线上的点所满足的条件，建立关于极径与极角之间的关系式（或方程）；③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程；④检验并确认所得的方程即为所求.

（2）本例是在准确把握图形特征的基础上，直接在极坐标系中进行变换求解的. 另外，求曲线的极坐标方程时，也可先求曲线的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.

例5 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设椭圆的长轴长为10，中心为（3，0），一个焦点在直角坐标原点. 当椭圆的过直角坐标原点的弦的长度为时，求弦所在的直角坐标方程.

解析 椭圆的方程为，其极坐标方程为.

设过直角坐标原点的弦的所在的直线的倾斜角为，弦的两端点分别为，，

则有，.

又由题意得，.

所以.

解得，.

所以，或.

所求直线方程为，或.

点评 本例在处理过椭圆中心的弦长时，用极坐标方法比直角坐标方法要简便的多. 另外，圆锥曲线的统一极坐标方程为（为离心率，为焦点到准线的距离）.当时表示椭圆，当时表示抛物线，当时表示双曲线. 用此方程解决与圆锥曲线有关的某些问题，可避免复杂的计算.

例6 如图，已知拋物线，A（-1，0），过点的直线与抛物线交于两点，且直线上的点满足，求动点的轨迹方程.

解析 设直线的参数方程为（为参数），代入抛物线方程得，，化简得，.

设所对应的参数分别为，，

则，.

由韦达定理得，，.

设对应的参数为，则.

由得，.

∴，即.

∴，即为动点的轨迹方程.

点评 本例既可看作是“参数法”求曲线方程的一个实例，也可看作是直线的参数方程的应用. 解决此类问题时，一要熟练掌握常见曲线的参数方程形式和参数的意义，二要把握题设中的条件与参数之间的内在联系. 注意，参数可以是一个有物理意义或几何意义的变量，也可以是没有明显实际意义的变量.

曲线的极坐标方程、参数方程的应用

例7 （1）在极坐标系中，点到直线的距离等于 .

（2）已知直线：（为参数）与曲线（为参数）相交于两点，则= .

解析 （1）由互化公式得，点对应的直角坐标为，直线对应的直角坐标方程为，故所求距离为1.

（2）直线的方程化为标准式即为（为参数），曲线的方程可化为.

将，代入并化简得，

.

由韦达定理得，，.

故.

点评 在极坐标系中求解距离问题，一是转化为直角坐标系中的距离求解，二是在极坐标系中构造三角形，利用余弦定理求解. 同理，参数方程问题也可转化为普通方程问题求解. 注意：直接利用直线的参数方程求解时，一定要将直线的参数方程化为标准形式（为参数），并注意参数的几何意义.

例8 （1）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）. 在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，直线（其中满足，）. 若曲线与的公共点都在上，则= .

（2）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为 （为参数）. 在极坐标系中，圆C的方程为. 若圆C与直线相切，则= .

解析 （1）由题意知，曲线的普通方程是，①

曲线的直角坐标方程是，②

直线的直角坐标方程是.

①-②得，.

由题意知，此方程即为的方程.

故.

又，所以.

（2）直线的普通方程为.

由题意得，，解得，，或6.

点评 涉及参数方程与极坐标方程的综合问题，求解方法通常是分别转化为普通方程与直角坐标方程后求解. 极坐标方程在转化时应注意两坐标系之间的关系，同时还要考虑，的限制条件与题中的隐含条件.