与圆有关的阴影部分面积

季明拓

求图形阴影部分面积，是中考试题的重要内容之一.这些题目除了着重考查基础知识之外，还十分重视对数学方法的考查，对数学思想的理解和应用，现对各类解法加以归类说明.

一、利用扇形的面积公式

例1 如图1，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为 .

（结果保留π）

【分析】扇形AOB的面积减去△AOB的面积就是阴影部分的面积.

解：S扇形=[90πR2360]=[90π×4360]=π，

S△AOB=[12]×2×2=2，

则S阴影=S扇形-S△AOB=π-2.

二、作差法

例2 如图2，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为 .

【分析】△ABC的面积减去四个圆的面积就是阴影部分的面积.

解：如图2，连接OB、OD.设小圆的圆心为P，⊙P与⊙O的切点为G，过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F，则∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等边三角形.

在Rt△OBD中，OD=BD·tan30°=1×[33]

=[33]，OB=2·OD=[233]，BG=OB-OG=[33]；

由于⊙P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，故PG=[13]BG=[39]；

∴S⊙O=π×（[33]）2=[13]π，S⊙P=π×（[39]）2=[127]π；

∴S阴影=S△ABC-S⊙O-3S⊙P=[3]-[13]π-[19]π=[3]-[49]π.

三、图形变换法

例3 如图3，三角形ABC是边长为1的正三角形，[AB]与[AC]所对的圆心角均为120°，则图中阴影部分的面积为 .

【分析】A点处的阴影部分平均分成两个弓形，将这两个弓形移至△OBC的空白处，可得阴影部分的面积为△OBC的面积.

解：如图3，设[AB]与[AC]相交于点O，连接OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之一，∴S阴影部分=[13]×[34]×12=[312].

四、割补法

例4 如图4，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）

【分析】将弓形OB补到弓形OC处，阴影部分的面积为扇形OAC的面积.

解：过点O作OD⊥BC于点D，交[BC]于点E，连接OC，则点E是[BC]的中点，由折叠的性质可得点O为[BOC]的中点，∴S弓形BO=S弓形CO，

在Rt△BOD中，OD=DE=[12]OE=2，OB=4，

∴∠OBD=30°，∴∠AOC=60°，

∴S阴影=S扇形AOC=[60π×42360]=[8π3].

【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是[BOC]的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积.割补法可以将不规则图形割补成规则图形，进而转化为熟悉的图形面积求解.

五、等积法

例5 如图5，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E.B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为[2π3]，则图中阴影部分的面积为（ ）.

A.[π9] B.[3π9]

C.[33-3π2] D.[33-2π2]

解：连接BD，BE，BO，EO，

∵B，E是半圆弧的三等分点，

∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，∠BAC=30°，

∴[60π×R180]=[2π3]，解得：R=2，

∴AB=AD·cos30°=[23]，

BC=[12]AB=[3]，AC=[AB2-BC2]=3，

∴S△ABC=[12]×BC×AC=[12]×[3]×3=[332]，

∵△BOE和△ABE同底等高，

∴△BOE和△ABE面積相等，

∴S阴影=S△ABC-S扇形BOE=[332]-[2π3].

【点评】本题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键.把阴影部分的面积转化为和它面积相等的特殊图形的面积，是求不规则图形面积常用的方法之一.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）