巧用导数求解“优化问题”

曹迎滔

摘 要：在高中数学教学中，用导数求解“优化问题”正日益成为考题的热点。同时，“优化问题”在高考中的要求也在逐步提高，由原來考纲要求的了解层面提高到了理解层面；并且，涉及“优化问题”的试题难度也在逐步加大，并且大多与其他知识交汇，由原来的容易题、中档题提升为中档题、难题。

关键词：数学；导数；优化

在现实生活中，我们会遇到在工业生产上产品产值最高，企业运作上利润最大，房地产商盖楼时面积的最小或者最大，印刷纸张上用料最小，生产效率最高的问题，这些问题通常称为“优化问题”。面对此类问题，建立数学模型，然后利用导数求导是解决“优化问题”的有效方法。本文主要谈一下如何根据实际问题，“建模、求导”解决生活中的“优化”问题。

一、用导数解决“优化问题”的题型

主要是以下几方面：（1）用“导数”解决和几何相关的面积最值、体积最值问题；（2）用“导数”解决和产品利润及其成本相关的最值问题；（3）用“导数”求解与物理现象有关的最值问题；（4）用“导数”解决和效率相关的最值问题。这些“优化问题”统统可以归纳为求函数的最值问题。

二、用导数解决“优化问题”的思路

数学“优化问题”（建模）——函数关系式（解决数学建模）——求导（作答）——答案（考虑实际意义）。

三、用导数解决“优化问题”的步骤

第一，根据实际情况，针对实际问题、分析问题中的各变量之间的关系，建模（列函数关系式），写出函数关系y=f（x），并写出变量的取值范围（定义域）。

第二，根据已知y=f（x），求出其导数f ′（x），然后列方程求解f′（x）=0，得出极值点的值。

第三，已知x的取值范围，然后在取值范围内确定端点和极值点值的大小，得到答案（最值）。

第四 ，检验结果是否符合实际意义（依据函数定义域）。

（1）列出函数关系式（利润和生产量）；

（2）年产量为多少千件时，利郎公司在这利郎男装的生产中所获利润最大。（注：年利润=年销售总收入-年总成本）具体解析不再赘述。

四、用导数解决“优化问题”时应注意的问题

一是用导数解决生活中的“优化问题”时，关键是要建立合适的数学模型。当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出符合题意的关系式，并确定函数的定义域，并考虑实际意义。

二是在解决实际问题时，常常会遇到函数在区间内只有一个点使f ′（x）=0的情况，若函数在该点有极（大或小）值，则不与端点值比较，也可以知道这就是最（大或小）值。

三是在用导数求解实际问题的最（大或小）值时，且要考虑问题的现实意义，不符合实际的应舍去。

（作者单位：河南省洛阳市第一高级中学）