一道椭圆典型习题的教学实录与感悟

胡科杰

[摘要]在椭圆中点弦问题的教学中，如果联立方程组，往往计算比较烦琐，本节课堂实录通过引导学生寻找利用合理的方法，教会学生自主探究，动手实践，合作交流，用问题探究的方式让学生亲历知识的发现的过程，体现学生思维的多样性，培养学生的创新意识，激发学生自动探究数学的兴趣，达到自主学习数学的目的。

[关键词]椭圆习题实录感悟合作交流

[中图分类号]G633.6

[文献标识码]A

[文章编号]1674-6058（2016）32-0015

在讲授椭圆几何性质时，我选了一道习题让学生在课前思考，然后在课堂上讲解，教学过程有点偏离了预设的轨道，但整个课堂鲜活灵动，是一个有效生成的课堂，我从中也收获了很多。

师：非常好！把椭圆问题用圆来处理了，这种方法通过坐标的伸缩变换，巧妙地把椭圆中的弦中点问题转化为圆中的弦中点问题，利用圆的垂径定理，使问题迅速解决，但是要注意经过伸缩变化后，原坐标下的点也要相应转化，还有其他方法吗？

生8：用几何画板画图，从图中直接得出直线AB与x轴的交点为D，且点D关于直线PQ与原点0对称，所以点D的坐标为（8，0），结合点P（4，2）得到直线AB的方程为x+2y-8=0。

师：生8观察很敏锐，看到了对称性，如果是客观题的话非常好，不过这种方法需要画出比较精确的图示，我们再仔细观察一下，还有其他方法吗？可以对照所求直线的方程来看，

生9：（0，3）（6，0）这两点的连线与所求的直线是平行的，

师：我们能不能利用观察所得的结论把问题解决呢？谁来试一试？

生10：设椭圆与坐标轴正方向的交点分别为L，M，作直线LM，交直线OP于Q根据题意，得直线LM的方程为y=-0.5x+3，直线OP的方程为y=0，5x，联立上述方程解得x=3，y-1.5，得到Q坐标为（3，1.5），而L（0，3），M（6，0），这样点Q正好是线段LM的中点，于是就有了一条与直线LM平行的直线与椭圆的两个交点关于这条直线与直线OP的交点对称，即有过点P且与直线LM平行的直线交椭圆的线段被点P平分，从而得到所求直线的斜率为-O.5，有点斜式直线方程得到所求的直线方程为y-2=-0.5（x-4），即x+2y-8=0。

师：厉害！你是怎么得到有过点P且与直线LM平行的直线交椭圆的线段被点P平分的？能否证明一下？是不是对任意的椭圆都会有这样的一个结论呢？如果存在，你能证明吗？请同学们课后思考。

师：下面我来简单小结一下。

（1）生1的解法是通法，对椭圆适用，对其他圆锥曲线也是适用的，我们要掌握、理解这样的通法。

（2）要积极运用基础知识，同学们给出这么多的解法都来源于牢固的基础知识，生6的类比思想，生8的猜想，用合情推理来解决问题，这是同学们良好基础知识融会贯通的体现。

（3）解题时要注意条件的限制，一定要检验。

二、教学感悟

第一，对于中点弦问题，我们要理解并掌握它的通法，更应深入理解通法的利弊，其最大的弊端是运算量较大，为了突破这一难点，要让学生探究是否还有其他方法来解决，通过学生自主探究，动手实践，合作交流，加上教师的适当引导，打开了学生的思路，激发了学生学习数学的兴趣，培养了学生自主学习、积极探索的能力，这与新课标倡导的积极主动、勇于探索的学习方式是相吻合的，同时让学生先思考后交流，允许他们发问、质疑、交流、合作，达到共同发现好的方法或者一致性的结论，学生暂时不能发现的，教师予以适当点拨，让学生领悟到解题的思路和策略，培养学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学习数学的信心。

第二，本題是椭圆的中点弦问题，学习椭圆之前，学生已经全面学习了圆的知识，椭圆中点弦问题可以类比成圆的中点弦问题，联系之前学会的坐标的伸缩变换，把椭圆转化为圆，利用圆的知识来解决会比较容易，既降低了解题的难度，又拓展了学生的解题思路。

第三，当题目解法比较多时，首先要掌握通法，这是解决圆锥曲线中点弦问题的基本方法，要熟练应用这种基本方法，其次，要运用解题技巧，如“设而不求”“点差法”“巧用对称”“利用类比联想”等，提高解题效率，提升解题能力，最后，要学会总结、归纳、反思，各种方法要择优选用，解完题后要认真总结解题步骤，认真反思不同的方法和应注意的问题及如解法规律、运算规律、涉及的相关知识、数学思想及哪些地方容易忽视等，解完题后也要总结一下解法中简化运算的技巧，这样才能真正在教学中真正落实“授人以鱼，不如授人以渔”，充分体现“以学生为主体，以教师为主导”“全面提升学生数学素养”的教学理念。

第四，当学生的想法出乎教师的意料时，教师要有较强的应变能力和足够的耐心，决不能轻易地否定学生的想法，要善于从学生的思路中找出其合理部分，从而设法将“预设性课堂”变成“生成性课堂”，并抓住学生思路中的合理部分，引导学生展开探究，进一步完善问题的解法。