高中数学恒成立问题的解题策略探讨

江苏省无锡市第三高级中学(214000)

童 嫣●



高中数学恒成立问题的解题策略探讨

江苏省无锡市第三高级中学(214000)

童 嫣●

一、巧用换元、间接解决问题

二、数形结合，构造问题框架

在高中阶段的数学学习过程中，一些较为简单的函数恒成立问题，如一元一次、多元一次、一元两次、多元两次等问题一般出现在选择填空中，而在需要运用综合知识的解答题中往往出现的是二次函数和指数对数函数等等，这一类的问题要想直接通过计算解决有一定难度，不仅是计算麻烦，而且需要列出一些技巧性的不等式，具有一定的挑战性.因此，应该进行数形结合，按照不等式的两边分别画出图象再求解问题.例如，已知有函数f(x)=logax,g(x)=(x-1)2,且当x在区间(1,2)内，f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范围.对于这样的题目，学生们如果直接着手进行计算整道题目都会变得十分复杂，但采取数形结合的办法，如图画出两个函数的图象，就可以很快地根据图象解决问题.如图可以看到当01.其次，若要在区间(1,2)范围内满足不等式f(x)>g(x)恒成立，则必须要让f(x)图象位于g(x)图象上方，则可以确定一个不等式，即f(2)≥g(2)，可以很轻松需要1≤loga2,则当x在(1,2)范围内，若使不等式成立，必须要使1

三、分类讨论、深层探讨问题

一般来说，二次函数在不同的主元素取值范围内其增减性是不同的，我们在学习过程中常常以是否存在定点，或说求出最大值、最小值为解决目标.最值问题一般都在整个函数区间范围内探讨增减性分解的某些点，因此在探讨二次函数恒成立问题中，应该将函数的基本性质、图象特点和分类讨论作为解题的三个思路，分别切入.结合图象在上文已经简略介绍过，但这样的方法并不能适用于多元二次函数问题，例如，当遇到g(x)=mx2+nx+q>0恒成立，x在实数范围内，且m不等于0.则首先需要m>0且Δ<0.当在整个实数范围内g(x)<0恒成立，则必须要m和Δ同时<0.像这样分情况讨论，在具体的一元二次型函数问题中，根据已知条件，以未知条件为依据，讨论二次项系数和Δ的取值条件解决问题可以将复杂问题简单化.除此之外，还可以将分类讨论和换元法结合在一起解决数学问题，例如，已知函数f(x)在x<0时的表达式为3x-2,当x>0时，函数表达式为2x，求在整个实数范围内能使得f(x)≥1的所有x的值.在刚接触到题目时，学生们通常会对出现的复杂关系感到一头雾水，这时可以运用换元法，在x<0使令t=3x-2,因此需要解答的方程变成了t≥1，同理当x>0时，令t=2x.这样十分便于学生们进行方程的计算.在计算这个方程的过程中引入图象，在直角坐标系中观察会更加直观.

在高中阶段的数学学习过程中，不仅要学习基础的数学概念和课本上的知识，还应该形成较为成熟的数学思想，能够通过数形结合、换元等方法解决多样性的数学问题，多加练习，在练习过程中不断归纳、总结，以此锻炼学生们的恒成立问题的解题能力，击破恒成立问题这一大障碍.

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1008-0333(2017)13-0046-01