例谈利用对称法解题的三种技巧

湖南省衡阳幼儿师范学校(421008)

丁白英●



例谈利用对称法解题的三种技巧

湖南省衡阳幼儿师范学校(421008)

丁白英●

对称法是一种富有创造性的思维活动, 本文通过举例的方法,介绍了在数学解题中恰当利用对称的思想对三角、代数或几何问题在内部进行灵活转化，会收到意想不到的效果.该方法打破了常规的数学解题思路,通过观察、联想,使复杂的问题简单化,对学生解答数学难题,提高数学学习兴趣有帮助.

对称法;换元;结构;证明

一、利用对称法对题设部分实施均值换元

例2 求函数Z=xy(x>0,y>0)满足条件x+y=1的最大值.

二、利用对称法对结论部分实施均值换元

分析 直接证明无从下手，观察变量a,b,c可知：它们在条件及要证明的结论式中具有对称性.

二、利用对称法实施添补所求式的对称式

有些数学问题，表面上看不具有对称性，但用对称的眼光去观察、审视，通过形、式添补造成对称，可得到巧妙解法.

例5 设a,b(a>b)是方程x2+x-1=0的两实根，

求a4-3b的值.

例6 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

解 设x=sin10°sin30°sin50°sin70°,y=cos10°cos30°cos50°cos70°,

三、利用对称法实施对称坐标法

有些数学问题，若能洞察到问题所具有的对称性，根据有关点的对称性进行对称坐标法可以简化运算，特别是对一些解析几何的问题会收到意想不到的效果.

求过点A(2，1)的弦P1P2的中点P的轨迹方程.

例8 直线l与圆相切，切点M恰为直线l交双曲线(x-1)2-y2=1所得弦AB的中点，求直线l的方程.

解 设M(x,y),A(x-m,y-n),B(x+m,y+n).

总之,用对称性解题的关键是敏锐地抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径,利用对称法分析解决数学问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题．

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1008-0333(2017)13-0036-02