巧用圆锥曲线的定义解题

江苏省扬州中学教育集团树人学校(225000)

李冬明 ●



巧用圆锥曲线的定义解题

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李冬明 ●

圆锥曲线的定义反映了它们的本质特征，它是推导圆锥曲线方程和研究几何性质的依据，又是解题常用的一把钥匙.在处理解析几何问题时，若能结合圆锥曲线的定义来考虑，可以避免繁琐的计算过程，达到化繁为简、事半功倍的效果.

圆锥曲线；定义；焦点；离心率

我们知道，课本上给出的圆锥曲线的定义有两种不同的形式，第一定义体现了“质”的区别，第二定义体现了“形”的统一.巧用圆锥曲线的定义解题是解决有关问题的重要策略，要引起重视.以下举例说明圆锥曲线的定义在解题中的应用.

一、巧用定义解决轨迹(方程)问题

例1 在圆C：(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C,Q的连线的交点为M，求M点的轨迹方程．

变式1：已知定点A(0,7),B(0,-7),C(12,2)，以C点为一个焦点，作过点A、B两点的椭圆，则另一焦点F的轨迹方程是____．

变式2：到定点A(2,0)的距离比到直线x+1=0的距离大1的点M的轨迹方程是____．

解析 根据题意知，点M到定点A(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等，故M点的轨迹是以A为焦点的抛物线，方程为y2=8x．

二、巧用定义解决焦半径(焦点弦)问题

解析 方法一根据第二定义，由点P到右准线的距离求出它到右焦点的距离，再由第一定义求出点P到左焦点的距离；方法二由点P到右准线的距离求出它到左准线的距离，再由第一定义求出点P到左焦点的距离．

三、巧用定义解决离心率问题

变式：我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为“相关曲线”.已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是____．

四、巧用定义解决最值问题

五、巧用定义解决其它问题

解析 如图，分别过点A、B及圆心M作双曲线右准线l1的垂线，垂足分别为A*、B*、M*．则

(其中e为双曲线的离心率，R为圆的半径)

故以AB为直径的圆与双曲线的右准线有2个交点．

探究：若将“双曲线”改为“椭圆”、“抛物线”会有几个交点？

综上，运用圆锥曲线的定义解题，不仅能抓住问题的本质，还能避开复杂的运算，使问题巧妙获解.利用圆锥曲线的定义解题的关键是先识别出可用定义解题的题目，应注意以下几种情形：

(1)题目中有到两定点间距离关系的条件或动点到定点、定直线距离关系的条件，应考虑是否可利用圆锥曲线的定义解题；

(2)已知定曲线方程，在已知或未知关系中有动点到准线、焦点距离时，可补上动点到相应焦点、另一焦点或相应准线的距离，再考虑是否可用定义解题；

(3)当已知或未知条件中的点构成三角形(其中有焦点、曲线上的点)，常常将定义与解三角形有关知识与方程综合使用；

(4)当题目中等量关系不够用时，应考虑用定义解题.总之，灵活应用圆锥曲线的定义解题，优解题思路，方便求解.

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1008-0333(2017)13-0007-02