追根溯源话数列

广东省广州市花都区第二中学(510820)

杨伟达●



追根溯源话数列

广东省广州市花都区第二中学(510820)

杨伟达●

众所周知，数列是每年高考数学重点考查内容之一．随着高考改革深入推进，尽管全国卷的高考数列题有所降低，但数列的概念及通性通法依然是历年考查的重点．本文就高中一些数列问题分别以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”进行阐述、剖析，供大家参考.

一、找“常数”

在高中《数列》这一章学习中，笔者发现两个特殊“差、比”数列定义中都离不开“常数” .

学生常常作差(或作比)找常数，活用定义. 而这个“常数”在解决数列问题中往往起到至关重要的作用.

解析 (1)证明因为an+1=3an+1，

因此，在求数列通项时有时常数成了解决问题的关节点.如何破解常数，把它转化为特殊的差比数列，问题也就迎忍而解.

二、找”邻居”

在两个特殊“差、比”数列定义中,笔者发现教材都强调“前后”项.这“前后”项往往成为列方程组消元的惯用手法.

分析 在许多高考数列题中，混合关系式既含有Sn又含有an，主要处理方法：要么消Sn变为an，要么消an变为Sn.在消元中常常用到an=Sn-Sn-1(n≥2).换而言之：先找“邻居” 即找“n+1或n-1”的项再作减.

因为an>0所以an+1-an=2.

解得：a1=-1(舍去)，a1=3.

解析a1+2a2+3a3+…+nan

所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1

①-②得：

所以Tn=a1+a2+a3+…+an

三、找”配对”

解析 由S9=S4得a5+a6+a7+a8+a9=0，即5a7=0，a7=0，则ak+a4=0=2×0=2a7，从而k=10.

点评 本题最大的看点在于: “2×0=0”,巧妙地补形后再利用等差数列的“配对”性质,求出其参数k.

所以①+②得：

2S=2012×3,

所以S=3018.

四、构函数

众所周知，数列是刻画离散现象的数学模型，是一种特殊的函数. 因此，运用函数的一些性质解决有关数列问题也是顺理成章的事.

所以f(n)为减函数

所以m的最小值为8.

通过这个例子可以看出，在考查数列不等式时，一些传统方法解决比较困难时，不妨把它转化为函数，此时函数性质就有用武之地.

求证：lna1+2lna2+3lna3+...+nlnan>(n-1)2(n∈N,n≥2).

解析 由已知递推公式有：

因为an+1=Sn+1-Sn,

化简： (an+1+an)(an+1-an-1)=0.

因为an>0，所以an+1-an=1.

又因为a1=1,所以an=n.

所以要证的不等式转化为ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn>(n-1)2(n∈N,n≥2).

显然，右边=(n-1)2=1+3+5+…+(2n-3),

所以只要证明ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn>0+1+3+5+…+(2n-3)(n∈N,n≥2).

因此，只要证：klnk>(2k-3),只要证xlnx>(2x-3)(x≥2,x∈R).

构造函数f(x)=xlnx-2x+3(x≥2,x∈R),

f′(x)=lnx-1.

当x>e时，f′(x)=lnx-1>0为增函数，当0

所以f(x)min=f(e)=elne-2e+3=3-e>0,

所以f(x)>0在x>0时恒成立，即xlnx>2x-3).

所以原不等式成立.

在涉及到超越函数时，往往用导数法求解.同样，数列不等式中若含有超越式，构造函数用导数法求解比较方便快捷.

[1]杨伟达.“0”问题的妙用[J]中学数学研究,2011(8):41-42.

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1008-0333(2017)13-0033-02