多角度研究带电小球在水平磁场中的下落轨迹

摘 要：对于带电小球（考虑重力）在水平匀强磁场中的下落，高中学生普遍不清晰其运动轨迹，特别是对带电小球运动至最低点时的运动状态存在认识上的误区，本文从定性、半定量、定量等多方面进行研究论证，以解决学生在该认知上的困惑.

关键词：带电小球；匀强磁场；下落轨迹；多角度研究

作者简介：胡晓强（1982-），男，大学本科，学士学位，中学高级教师，主要从事高中物理教学研究工作，承担物理竞赛教学及自主招生辅导工作.

题目 如图1所示，一个质量为m、带电量为q（q>0）的小球，在磁感应强度为B的足够大的匀强磁场中由静止下落，问小球的最终运动状态如何，是否可能会出现小球做匀速直线运动的情况？

笔者在教学中发现，有相当多的学生认为在匀强磁场中下落时，由于带电小球受到洛伦兹力的作用而逐渐向右偏转，最终洛伦兹力与小球重力平衡，从而向右做匀速直线运动，整个过程有如图2所示的运动轨迹；另有一部分学生虽然意识到带电小球最终不是做匀速直线运动，但小球的运动状态却无法求解确定.

怎样有效的利用现有的高中物理知识来解决学生在该认知上的困惑，笔者试从定性、半定量、定量等多角度进行研究论证.

解析1 如图3，设小球下落运动到B点时，速度为水平方向，则在B点之前的极短一个时刻（对应图中A点），设A点速度vA与水平方向成Δθ角度（Δθ→0）.

在A点，速度vA有竖直向下的分量vAy，而接下来瞬间（对应B点）速度达到水平时无此竖直方向速度的分量，即小球在这个过程由于受到竖直向上的合外力而在竖直方向上做减速运动，因此有

qvABcosΔθ>mg（1）

∵A至B过程，只有重力对小球做正功

∴vA

则由（1）（2）必定有qvBB>mg

故当带电小球运动到水平方向时，向上的洛伦兹力大于重力，小球仍会向上偏转运动而不是保持水平方向的匀速直线运动.

解析2 如图4，带电小球在运动过程中的任意时刻，设其水平方向的分速度为vx，竖直方向的分速度为vy，所以此时带电小球在水平方向的加速度ax=Fxm=qvyBm

∴Δvx=axΔt=qvyBm·Δt

∴两边求和有∑Δvx=qBm∑vyΔt

又∵∑Δvx=vx，∑vyΔt=y

∴由以上两式得vx=qBm·y

当带电小球运动到速度水平时，其速度v=vx

∴此时小球在竖直方向上的位移y=mvqB

则小球在从出发点O运动至最低点B过程中，只有重力做功（洛伦兹力不做功），由动能定理：

mgy=12mv2 得B点速度v=2mgqB

则此时带电小球所受洛伦兹力f=qvB=q·2mgqB·B=2mg>mg

∴小球会继续往上偏转而不是保持水平方向的匀速直线运动.

当然，以上仅是定性地说明小球最终不是做水平方向上的匀速直线运动，那其運动性质能否进一步确定呢？

解析3 如图5，将速度分解为水平向左的速度v1和水平向右的速度v2，因为小球初始状态初速度v0=0（静止），则有v1=v2

令qv1B=mg 即v1=mgqB

则小球的运动等效为水平向右以速度v1做匀速直线运动，同时在竖直平面内做速度大小为v2、半径为R=mv2qB=m2gq2B2的匀速圆周运动，由数学知识定义可知，其运动轨迹为摆线.

对于带电小球精确的运动轨迹求解，还需借助高等数学的知识进行论证.

解析4 以带电小球的初始位置为坐标原点O，建立如图6所示坐标系，根据牛顿第二定律，可知小球的运动微分方程：

md2xd2t=qBdydt①

md2yd2t=mg-qBdxdt ②

初始条件：

t=0，x0=0，y0=0，dxdtx=0y=0=0，dydtx=0y=0=0

令ω=qBm则有：

dxdt=ωy③

dydt=gt-ωx④

d2xdt2=gωt-ω2x⑤

d2ydt2=g-ω2y⑥

根据微分方程d2ydt2+k2y=f（x）（其中k>0）通解：

y=acoskx+βsinkx+1k∫xx0f（t）sin（kx-t）dt

解方程⑤⑥得：

x=ω2g（ωt-sinωt） ⑦

y=ω2g（1-cosωt）⑧

因此，小球的轨迹是xOy平面内的摆线（滚轮线）.

由③⑦⑧式得：

dydt2=2gy-ω2y2 ⑨

令⑨式中dydt=0，求得y的最大值ym=2gω2，此时d2xdt2m=0，即为小球运动到最低点时对应的值.

1.根据③式得dxdtm=2gω；

2.根据⑥式得d2ydt2m=-g；

3.令⑥式中d2ydt2=0，则y=12ym=gω2；

4.根据④式，小球从O点到最低点的时间为tm=2ω；

5.根据⑤式，xm=gtmω=2gω2.

根据以上1、2、3点的结果，从力学角度来看，尽管小球在最低点时dydtm=0，dxdtm=2gω≠0，但在该点d2ydt2m=-g≠0，也就是说小球在最低点受到竖直向上的洛伦兹力是重力的两倍，小球在最低点以后的运动不可能沿x方向做匀速直线运动而是会向上偏转.

结束语：通过以上定性、半定量、定量等多角度的研究，让不同程度的学生都能在各自认知水平上对带电小球（考虑重力）在水平匀强磁场中的下落轨迹有了更进一步的理解，解决了学生在该认知上的困惑.同时在解析过程中涉及了运动的合成与分解、微元法、能量守恒等高中阶段常用的物理方法，又结合了数学中几何知识、先微分再积分的思想方法，多样化的解题思路，也拓展了学生的视野，符合“全面提高学生科学素养”新课改理念.

参考文献：

[1]课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·物理选修3-2.北京：人民教育出版社，2010：29.

[2]王胜利.微元法在新课程标准教材中的体现.物理教师，2010（4）：14-16.

[3]周晓东.带电小球在匀强磁场中运动一例.山东大学学报，2000（7）：137-138.