以弹簧为例谈物理模型的构建

摘 要：弹簧是高中物理重要模型之一，在高考中多以弹簧为背景或题材命题，考查的知识点较多及考查学生的分析综合能力、推理判断能力.

关键词：弹簧模型；能力；题型

作者简介：荆长城（1975-），男，本科学历，高级教师，研究方向高中物理教学与研究.

高中物理学习中有许多物理模型，如质点、元电荷、轻杆、轻绳、电磁感应中的杆-导轨、宇宙中的双星等模型.许多同学认为高中物理难学，上课一听讲就懂，下课一做题就蒙.这种现象表明学生缺乏将实际问题还原成物理模型的能力.有的同学感觉物理有趣易学，是因为他们掌握了大量的物理模型，并能在做题的过程中迅速读懂题目中的信息，将信息与相应的物理模型建立联系，然后用物理模型对应的规律解题.

如何构建物理模型是学好物理的关键，首先要正确理解常见的模型以及他们的特点，为我们灵活、准确地分析物理问题提供依据；然后是审题建模，要读清题目中的条件，尤其是要挖掘隐含条件，如电磁感应中的杆在导轨上运动，就要建立起杆-导轨模型，就想到了杆的收尾速度等问题；最后是找准对应规律解题.

弹簧是高中物理重要模型之一，它涉及到力与加速度、功和能、冲量以及极值等许多物理知识和规律.通过弹簧与其它知识点的结合可以考查学生的分析综合和推理能力，因此在高考中常常以弹簧为素材进行命题.弹簧模型问题的解决关键要注意两点：正确对与连接或接触的物体进行受力分析；掌握弹力变化、弹簧势能的变化特点.举例分析如下：

一、轻弹簧模型

例1 如图1所示，质量m的球与弹簧Ⅰ和水平细线Ⅱ相连，Ⅰ、Ⅱ的另一端分别固定于P、Q.球静止时，Ⅰ中拉力大小T1，Ⅱ中拉力大小T2，当仅剪断Ⅰ、Ⅱ中的一根的瞬间，球的加速度a应是

A.若断Ⅰ，则a=g，方向水平向右

B.若断Ⅱ，则a=T2m，方向水平向左

C.若断Ⅰ，则a=T1m，方向沿Ⅰ的延长线

D.若断Ⅱ，则a=g，竖直向上

解析 剪断Ⅰ的瞬间，细线Ⅱ的弹力突变为零，所以球的加速度为a=g，方向竖直向下，因此选项A、C错误；剪断Ⅱ的瞬间，弹簧Ⅰ的弹力不变，弹簧Ⅰ的弹力和重力的合力与T2等大反向，所以球的加速度为a=T2m，方向水平向左，选项B项正确.

点评 此类问题应注意两种模型的建立，弹簧（或橡皮绳）和刚性绳模型.分析时注意弹簧（或橡皮绳）的弹力不能突变，当弹簧的长度不变时，其弹力不变；杆或不可伸长的绳的弹力会因为条件的变化而发生突变.

二、弹簧振子模型

例2 如图2所示，水平弹簧一端固定，另一端拴在质量为m的木块A上，另一质量也为m的木块B与A靠在一起放在光滑水平面上.现用力推B使弹簧压缩量为x1，系统静止；突然撤去外力，设A向右到达的最远位置离平衡位置的距离为x2；从A开始运动到平衡位置的时间为t1，从平衡位置到右边最大位移处所用的时间为t2.（已知简谐运动中，振子质量越大，周期越大）则

A.x1=x2 t1=t2B.x1>x2 t1

C.x1t2D.x1>x2 t1>t2

解析 撤去外力后，A运动到平衡位置时A、B开始分离，分离前A、B共同做简谐运动，分离后A做简谐运动，B做匀速运动.由能量守恒可知刚撤去外力时的弹性势能等于A运动到右边最大位移处弹簧的弹性势能与B的动能之和，可得到x1>x2；由题中条件可知，t1为A、B整体振动的1/4周期，t2为A振动时的1/4周期，由周期与质量的关系得到t1>t2，由以上分析可知D正确.

点评 弹簧振子模型是简谐运动中基本模型，关键是理解周期性、对称性等特点.

三、碰撞模型

例3 如圖3所示，倾角为θ=30°的斜面固定在水平地面上，在斜面底端O处固定一轻弹簧，斜面顶端足够高.斜面上OM段光滑，M点及以上均粗糙.质量为m的物块A在M点恰好能静止，在离M点距离为L的N点处，有一质量为2m的光滑物块B以速度v0=2gL滑向物块A，若物块间每次碰撞（碰撞时间极短）后即紧靠在一起但不粘连，物块间、物块和弹簧间的碰撞均为弹性碰撞.求：

（1）物块A在M点上方时，离M点的最大距离；

（2）系统产生的总内能E.

解析 （1）设物块B第一次和物块A碰前的速度为v1，碰后的共同速度为v2.物块B从N运动到M点由动能定理得，2mgLsinθ=12×2mv21-12×2mv20 ①

对物块B和A，在碰撞过程中由动量守恒定律得，2mv1=（2m+m）v2 ②

物块A、B从第一次在M点相碰后至再次回到M点的过程中机械能守恒，两物块速度大小不变，方向相反，其后物块A、B将做匀减速运动，设加速度分别为a1、a2.

由牛顿第二定律，对A：μmgcosθ+mgsinθ=ma1

对B：2mgsinθ=2ma2

又由题意中“物块A恰好静止”可得，μmgcosθ=mgsinθ ③

故a1>a2

所以当A运动到最高处静止，物块B还在向上减速运动，未与A相碰.

对A从M运动到最高处，由动能定理得，（-μmgcosθ-mgsinθ）s=0-12mv22 ④

由①②④式得，s=23L

（2）物块A、B最终紧靠在一起在OM间做往复运动，从物块B开始运动至M点且速度为零的过程中，由能量守恒得，E=2mgLsinθ+12×2mv20

所以系统产生的总内能E=3mgL

点评 弹簧是一个储能元件，且其存储的能量与劲度系数和形变量有关，在弹簧与物体构成的力学系统中，通过做功或能量转化的关系，定性分析弹性势能的变化，或与弹簧接触的物体机械能变化，或碰撞过程中的动量守恒，是高考命题的热点.

四、连接体

例4 如图所示，倾角为θ的直角斜面体固定在水平地面上，其顶端固定有一轻质定滑轮，轻质弹簧和轻质细绳相连，一端连接质量为m2的物块B，物块B放在地面上且使滑轮和物块间的细绳竖直，另一端连接质量为m1的物块A，物块A放在光滑斜面上的P点保持静止，弹簧和斜面平行，此时弹簧具有的弹性势能为Ep.不计定滑轮、细绳、弹簧的质量，不计斜面、滑轮的摩擦，已知弹簧劲度系数为k，P点到斜面底端的距离为L.现将物块A缓慢向上移动，直到弹簧刚恢复原长时的位置，并由静止释放物块A，当物块B刚要离开地面时，物块A的速度恰好为零，求：

（1）当物块B刚要离开地面时，物块A的加速度；

（2）在以后的运动过程中物块A最大速度的大小.

解析 （1）B刚要离开地面时，A的速度恰好为零，即以后B不会离开地面.

当B刚要离开地面时，地面对B的支持力为零，

设绳上拉力为F.

B受力平衡，F=m2g①

对A，由牛顿第二定律，设沿斜面向上为正方向，m1gsinθ-F=m1a②

联立①②解得，a=（sinθ-m2/m1）g③

由最初A自由静止在斜面上时，地面对B支持力不为零，推得m1gsinθ

故A的加速度大小为（sinθ-m2/m1）g ，方向沿斜面向上.

（2）由题意，物块A将以P为平衡位置振动，当物块回到位置P时有最大速度，设为vm.从A由静止释放，到A刚好到达P点过程，由系统能量守恒得，m1gx0sinθ=Ep+12m1v2m④

当A自由静止在P点时，A受力平衡，m1gsinθ=kx0 ⑤

联立④⑤式解得，vm=2（m1g2sin2θk-Epm1）.

点评 与弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及临界极值问题.比如物体速度达到最大；弹簧形变量达到最大；相互接触的物体恰好要分离等.此类问题的解题关键是挖掘隐含条件，选择物理规律，再结合数学知识处理问题.