模型“出”“入”有门路

罗文清

模型思想是数学研究与学习中基本的数学思想之一。广义而论，数学的法则、定律、公式、规律均可视作数学模型。狭义来看，在小学数学教材中，鸡兔同笼、植树问题、找次品、鸽巢问题作为数学模型教学的四个专题被编入数学广角（共计10个专题），占比近半，足见模型思想的重要性。

模型教学涉及两个核心要素，“建”与“用”，建模是关键，是基础；用模是重点，是归宿。建模的质量直接影响用模的水平，建得自主，建得积极，则用得自如，用得灵活。如果把“模型”当作“模具”交给学生，那么学生只会是照葫芦画瓢，生搬硬套，不可能实现真正意义上的用模。如何实现模型的有效建构，让模型来时有门，去时有路呢？下面笔者结合“鸡兔同笼问题”的教学实践谈谈自己的一些体会。

一、找准起点，积累经验

建立数学模型和解决其他数学问题一样，需要经过一系列具体或抽象的操作与思维活动，这些活动的展开同样需要以学生已有的生活和知识经验为起点，层层深入，不断积累建立模型所需要的完整活动经验。

以“鸡兔同笼问题”为例：鸡兔共有8只，脚共有26只，问鸡兔各几只？

列表与假设是解决这类问题常用的两种方法，教学中往往呈现这样的景象：依序列表时，学生得心应手，轻松自如，但到了研究假设法时，多数学生理解困难，有的更是一脸茫然。

究其原因，是因为教学中我们往往将列表与假设割裂，没有认识到列表过程中同样蕴含着假设。

如何破局？细作分析，无论是列表法，还是假设法，都遵循“假设——计算——推理——调整”的解决策略与程序，如果在列表过程中让学生直觉感悟到这样的思维过程，就会为后面抽象的说理做好准备，降低学生理解的难度。

当学生利用上表找到答案后，教师应及时引导学生对表中的数据加以分析：第一组数据是先假设8只全部是鸡，然后计算出只有16只脚，与实际26只不符，需要对假设做出调整；接着重新假设有7只鸡，1只兔，计算出共有18只脚，仍然与实际26只不符；依次下去，直至鸡3只，兔5只时，脚正好26只。最后非常关键且重要的一点，教师要有意识地引导学生反思这一过程中的基本程序与思路，即“假设——计算——推理——调整”，当学生有了充分的感知之后，就为后面理解假设法积累了相关经验。

二、抓住重点，主动建模

有了上面的基本策略与路径之后，如何让学生深层理解作出假设之后题中存在的数量关系，如何用算式表示出它们之间的关系，就成了接下来的教学重点，因为这是学生实现主动构建模型的关键所在。

师（出示表1）：刚才同学们从全是鸡，或全是兔开始列表尝试，现在老师又是怎样想的呢？你能接着想下去吗？

生1：先假设鸡兔各有4只，可以计算出这时脚共有24只，只要增加1只兔，减少1只鸡，就可增加2只脚。所以鸡有3只，兔有5只。

师：你怎么知道调整时要增加1只兔，减少1只鸡的？

生1：因为算出的脚数24只比实际26只少2只，1只兔比一只鸡就多出了2只脚。

师（出示表2）：现在你能看懂表中的数据和想法吗？你能接着往下找到答案吗？

生2：先假设有6只鸡，2只兔，通过计算6×2+2×4=20，比题中26只脚少了6只，列式为26-20=6，调整时需要增加3只兔，减少3只鸡。

师：为什么要增加3只兔，减少3只鸡，能说得明白点吗？或者用个式子表示出来？

生2：1只鸡与1只兔相差2只脚，现在共相差6只脚，就是算6里面有几个2，算式是6÷（4-2）=3。

师（出示表3）：现在呢？你能不能像刚才大家分享的一样，用算式表示出思维过程呢？

（学生独立思考后展示交流。）

生3：假设全为鸡，共有8×2=16只脚，少了10只脚，调整时需要增加5只兔，减少5只鸡，就是算10里面有几个2，列式为10÷（4-2）=5。

在上面的教学片断中，通过三组数据，遵循“假設——计算——推理——调整”这一过程，引导学生由近及远，由特殊到一般逐步抽象出解决鸡兔同笼问题的数学模型。

三、紧盯难点，灵活用模

用模是研模、建模的最终目的，体现了模型的现实意义与应用价值，是模型教学中的重要环节。用模能力的高低取决于建模的质量和学生的识模能力，学生能否将现实情境中的具体信息逐一与模型中的量联系起来，建立对应关系，实现从问题到模型的抽象，这是用模阶段的一大难点，教学中应设法突破。

在“鸡兔同笼问题”模型的应用环节，笔者设计了以下三个层次的识模体验：①基础性识模，龟鹤同游，从上数，共有40个头，从下数，有112条腿。龟、鹤各有几只？②游戏化识模：（课件演示）这是一个信封，里面装了5元和2元的纸币，共7张。你能猜猜信封里一共有多少钱吗？让学生在猜的过程中感悟不少于14元，不多于35元。之后再补充信息“共有29元”，现在你能知道5元、2元纸币各有多少张吗？③生活化识模：师生共38人去划船，共租了8条船，恰好坐满，每条大船坐6人，每条小船坐4人，大船和小船各租了几条？在每一轮的练习中，笔者会让学生思考：它们与今天研究的“鸡兔同笼问题”有联系吗？如果有，是怎样的联系？以此训练学生的识模能力，提高应用水平。

建模与用模组成了模型教学的两条腿，只有建模时有“门”，才能做到用模时有“路”。

（作者单位：松滋市黄杰小学）