伴随算子的求解与实例

摘要：通过对伴随算子的定义、性质的研究，指出计算伴随算子的一般方法，并给出计算伴随算子的实例。

关键词：伴随算子；积分算子；傅里叶算子；移位算子

中图分类号：O172.2

伴随算子是泛函分析的重要组成部分，伴随算子的计算是其中的难点。文献[12]研究了伴随算子的性质，伴随算子的谱理论等，但关于伴随算子的计算实例并不多。鉴于此，本文将探讨计算伴随算子的方法并给出一些实例。

1 预备知识

定义1 设X，Y是两个希尔伯特空间，T是从X到Y中的有界线性算子。如果存在从Y到X中的有界线性算子T*，使得对任意x∈X，y∈Y，都有

〈Tx，y〉=〈x，T*y〉，

则称T*为T的伴随算子。

一般情况下，可以利用定义计算伴随算子。给出有界线性算子T后，从形式〈Tx，y〉出发，利用内积的定义或者性质把它转化为形式〈x，T*y〉，就可以得到T*。

性质1[3] 设X，Y是两个希尔伯特空间，T是从X到Y中的有界线性算子，T*为T的伴随算子，则

（1）T*是唯一的；

（2）（A+B）*=A*+B*；

（3）（αT）*=αT*；

（4）（T*）*=T；

（5）T*T=TT*=T=T*；

（6）当X=Y时，（AB）*=B*A*。

伴随算子的性质也可帮助计算某些伴随算子。

2 例子

例1 设X为Hilbert空间，T为X上的相似算子，即T=αI，求T*。

解：因为对任意的x，y∈X，有

〈Tx，y〉=〈αx，y〉=α〈x，y〉=〈x，αy〉，

所以T*=αI。

注：特殊地，O*=O，I*=I。

例2 设Cn为复欧式空间，A=aij为Cn上的矩阵算子，即对任意的x=（x1，x2，…，xn）∈X，

Ax=（∑nj=1a1jxj，∑nj=1a2jxj，…，∑nj=1anjxj），

求T*。

解：因为对任意的x=（x1，x2，…，xn），y=y1，y2，…，yn∈Cn，有

〈Ax，y〉=∑ni=1∑nj=1aijxjyi=∑nj=1xi∑ni=1aijyi=〈x，ajiy〉，

所以T*=aji。

例3 設K（t，s）为定义在[a，b]×[a，b]上的二元平方可积函数。L2[a，b]为[a，b]上的平方可积函数空间，T为L2[a，b]上的积分算子，即

（Tx）（t）=∫baK（t，s）x（s）ds，

求T*。

解：因为对任意的x，y∈L2[a，b]，有

〈Tx，y〉=∫ba∫baK（t，s）x（s）y（t）dsdt=

∫bax（s）∫baK（t，s）y（t）dtds=

∫bax（t）∫baK（s，t）y（s）dsdt，

所以T*为（T*y）（t）=∫baK（s，t）y（s）ds。

例4 设L2为R上的平方可积函数空间，T为L2上的傅立叶算子，即

Tf=f∧，

其中f∧（ω）=12π∫+∞-∞f（x）e-iωxdx，求T*。

解：因为对任意的f，g∈L2，有

〈Tf，g∧〉=〈f∧，g∧〉=∫+∞-∞f∧（ω）g∧（ω）dω=

∫+∞-∞12π∫+∞-∞f（x）e-iωxdxg∧（ω）dω

=∫+∞-∞f（x）12π∫+∞-∞g∧（ω）eiωxdωdx=〈f，g∨〉，

其中g∨（x）=12π∫+∞-∞g（ω）eiωxdω，所以T*为T*g∧=g∨。

例5 设l2为2次收敛序列空间，T为l2上的右移位算子，即对任意的x=（x1，x2，…，xn）∈l2，

Tx=（0，x1，x2，…），

求T*。

解：因为对任意的x=（x1，x2，…），y=（y1，y2，…）∈X，有

〈Tx，y〉=∑ni=1xiyi+1=〈x，（y2，y3，…）〉，

所以T*y=（y2，y3，…），即T*为左移位算子。

参考文献：

[1]程其襄，等.实变函数与泛函分析基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.6.

[2]石智，陈清江.泛函分析初步（第二版）[M].西安：陕西科学技术出版社，2009，8.

[3]杨纪华，李艳.关于Banach空间和Hilbert空间的共轭算子的讨论[J].高师理科学刊，2014，34（4）：79.

基金项目：陕西省教育厅专项科研计划项目（No.16JK1825）

作者简介：赵书改（1981），女，河南漯河人，硕士，讲师，研究方向：算子理论与小波分析。