感触 追寻 表达

高益兰

摘要：习题教学是高三复习课的重要形式，学生的数学复习离不开解题，数学解题与错误如影随形。本文笔者结合自身的高三教学实践，归纳整理了学生日常作业与模拟考试解题中易犯的高频错误，并对各种错误成因进行分类剖析，“感触问题，追寻错误的根源，学会正确而永恒的表达结果”给出针对性的教学对策以期能帮助学生在解题中减少失误，提高数学解题能力，进而使高三解题教学更加高效给力。

关键词：感触；追寻；表达

G633.6

一、课题的提出

解题教学占据了高三数学教学的大部分时间，学好数学离不开解题，学生通过解题可以加深对概念的理解，优化数学认知结构，训练数学思维，提高自身分析和解决问题的能力。

现象一：上课听得懂，作业不会做。

现象二：难的做对，简单的反而失分。

现象三：老师反复讲，学生照样错。

现象四：老师讲的津津有味，学生无动于衷。

……

“人非圣贤，孰能无过”，但为什么会一错再错呢？用一个心理学上的名词来说，叫做“动力定型”。所谓“动力定型”，就是大脑皮层对刺激的定型系統所形成的反应定型系统。简单的说，就是先入为主和习惯成自然的效应。错误的概念、习惯和方法抢先刺激了学生的大脑皮层，刻下了深刻的印象。具体来说，“一错再错”大致有以下几种原因：

1.学生层面

（1）知识性错误。（2）习惯性错误，习惯成自然。（3）思维性错误。

2.教师层面

（1）没有全面了解学生具体的错误情况。（2）教师讲，学生看，学生再模仿老师的解题过程进行强化训练。这样的教学过程缺乏数学学习中本应该经历的直觉、想象、类比、概括表达等一系列思维过程，这样讲解习题学生能听懂，但是缺乏真正的启发，学生难以体会理解题中所蕴含的真正的思想方法，没有经历将知识化归的心理过程，所以会出现“一错再错”也在所难免。

二、“一错再错”现象的策略研究

不同的错题类型产生的原因迥然不同，其解决的策略也各异，方法也有别。如果不加以区别对待的话，是不可能做到轻松学习，更谈不上学会学习和享受学习了。要根据错误的原因运用相应的对策，对症下药才能不断收获进步的果实。以下是相关策略的初步应用。

（一）感触错题的根源，拨云见日

1.正本清源，暴露学生思维受困过程

学生易犯错的第一大原因是“认知结构不足”。在高三第一轮复习中，学生虽然对教材的内容都已学过，但所学知识只是零零星星、模模糊糊的，没有形成一个良好的知识体系，而且对数学概念、定理、公式及一些常用的方法的理解、掌握仅停留在表面层次，不能举一反三、灵活运用，更不能对知识进行有效的迁移等等。

【案例1】：已知等差数列{}与{}的前项和分别为Sn和Tn，且，求

通过实物投影，两位学生的解答：

甲的解法是：等差数列{an}与{bn}的前项和分别为Sn和Tn，

乙的解法是：

全班同学满脸困惑地盯着投影。

师问：一道题目，两个答案！孰是孰非？

丙（发现）说：我认为甲的解法绝对正确，乙的解法觉得有问题。

师问：那么问题在哪里呢？

通过学生共同讨论，反复推敲，

丙（再次起立）说：我发现这样的设法有问题。

，这种设法虽然保证了条件的成立，但等差数列的前项和Sn不是的n一次函数，而是n的二次函数，即这样设法就错误了。

错误的原因找到了，学生十分激动。但我没有就此罢休，一个强烈的念头迫使我沿着学生的思路继续下去。

师问：既然Sn是n的二次函数，那么把上面的设法改一下如何？

丁说：

师说：结果完全正确！是巧合吗？那么可以在课后对一般情况加以验证，证明这个方法是正确的。那么能否这样？

戊毫不犹豫的说：这样设绝对有问题，因为中常数项为零。所以只能设常数项为零的二次形式。

师说：对呀！我们的学习就应该看到本质特征，那么一个问题可渗透一连串的知识。达到事半功倍的效果，我们应该有积极探索的精神。

对于已经出现的知识性错误，需要点面结合，在应对“一错再错”的同时，实现错题效用最大化。事物是普遍联系的，错题的形成也许并非一个孤立现象，错题涉及的知识本身只是一个“点”，但这个点上的错误，很有可能是由于学生对于整块知识的掌握偏差所导致的。因此，在学生自主分析整体错题的同时，教师也应当深究学生错题的知识点分布以及之间的内在联系，引导学生从错误点出发，形成对一个或若干知识块的掌握与体系构建，寻找导致错误的更加广泛的原因，在普遍联系中避免“一错再错”情况的发生。

2.研究错题，以问题驱动让学生从根源上彻底解决原有的知识性错误。

“问题驱动”，就是教师把问题作为学生学习的动力源，让学生产生学习的欲望，全心投入解决问题的活动中.教师在设置具体的问题情境时，需要注意的是把握好问题设置的难度和梯度，一定要在学生“最近发展区”内设置问题，应遵循以下原则：一是低起点原则.问题起于知识原点、背景材料、学生的认知障碍、自然现象等。二是逻辑链原则。设置的问题应构成一条逻辑线索，根据知识层次设置问题或根据方法设置问题，即知识线和方法线，问题之间必须存在逻辑联系，是一个逻辑链.三是梯度小原则.笔者比喻为盘山公路式，起点低、坡度小、路程长、目标达成度高.当然在教学过程中，如果学生能提出问题（生成性问题），那是更好更高的境界。

【案例2】问题1：函数的零点是__________；

生1：（2，0）（马上有学生争论：不对，应该是2）

师：到底是（2，0）还是2呢？（教师没有立刻给予评价，而是指导学生回忆零点概念等有关知识）

总结梳理：函数零点概念：对于函数，把使方程的实数x称为函数的零点.实际上函数的零点就是方程的实数根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标.即：

方程有实数根函数图象与x轴有交点函数有零点

变式1：若函数有一个零点3，那么函数的零点是___

变式2：函数的零点个数为________.

本问题的设计目的与意图是通过问题驱动带动学生去复习巩固知识，通过总结梳理零点的概念，函数零点与函数图象与x轴交点横坐标、方程有实数根之间的等价关系，并通过友情提醒的方式，让学生明白“零点不是点，而是一个数”。应该说问题设计的起点非常低，通过问题变式的设计，难度逐渐提升，很好地将函数与方程的思想渗透在问题解决之中。

教学过程中学生在教师的问题链引导下总结提炼解决函数零点问题常用的三种方法，即（1）解方程法；（2）零点存在性定理法；（3）图象法.取得了很好的效果。

3.重视数学阅读，提高有效审题能力

数学是一种语言，由于其高度抽象，符号众多，成了学生解题时的障碍，“阅读能力”实际上是一种搜索、整理、提炼信息的能力。很多学生对这类题往往无从下手。本人尝试指导学生“整体把握文本内容，理清思路，划出重点语句，转化成数学符号语言”来进行阅读，达到了较好的效果。

因审题不清而导致出错的情况举不胜举，那么学生应当怎么应付这种低级错误呢？笔者认为应当从以下四方面入手

（1）审题型

为什么要审题型？实际问题是各种各样、千差万别。但可以对其进行分门别类，归纳为有限的问题模型后再进行解题，从这个角度上说，题型决定了出题的方向、解题的方法，也

就决定了我们紧接下来的其他审题步骤。

【实例1】

其实对题型的判断不仅是审题中的重要环节，它还是一个对解题模式的识别和应用过程。这就需要解题者一方面具有丰富的信息贮存；另一方面又善于在通晓基本题型的基础上以灵活、流畅的思维去解决千百万化的各种问题，寻找到最合理、最恰当的解题方法。

（2）审文字

审文字除了逐字逐句认真阅读题目外，还必须把你现在碰到的题目与以前的题目相联系。注意题目中文字有没有增多或减少，尤其在题目中出现一些看起来本不应该在生物题目中出

现的修饰语时，更应该引起你充分的警觉，因为这些修饰语往往很可能是解题的关键所在。

【实例2】求过曲线点（1，-1）的切线方程

学生的错解：

错解分析：过曲线上的点（1，-1）的切线方程与切线的切点可能是（1，-1），也可能不是（1，-1），本题错误的原因就是把（1，-1）当成了切点。这里的“过”与“在”一字之差，但意义完全不同。

（3）审方法

同样一道题目，解题方法可能会有很多，这时不要以为随便给出一种方法就可以了。其

实，方法的好坏不仅决定了解题速度的快慢，在有些情况下，解题方法很可能影响到学生的

成绩。

【实例3】

显然，思路1做不下去，思路2计算繁琐，思路3事半功倍。

（4）审全程

一般认为，审题是解题的首要步骤，是正确解题的前提。事实上，应该把审题贯穿于解

题过程的始终，与解题“同生共长”。尤其碰到难题时，这种解题方法尤为重要。

（二）经历追寻错误的过程

对于教学过程中学生偶然出现的此类错误，不能一带而过，教师需要指出、引导、探究、纠正，让这些课堂生成的教学情境发挥作用。解决“一错再错”中的思维偏差，就必须在错题探究中强化思维方法引导。对于错题，学生不仅要“知其然”，而且要“知其所以然”，不仅要从知识层面“知其所以然“，还要从思维模式方法上有所反思和改进。

1.以错题本的形式将错题整理成册

这种做法可谓一举两得，一方面让学生对此类错误产生“预警”，另一方面让以往的错题成为今天的教学资源。

对此，我们可以采用“日减一误”的方式，一次考试或者训练后，让学生总结，在这次考试中有多少题目是因为不良的审题习惯，粗枝大叶导致的。例如，这次考试共十处此类错误，那么下一次考试计划减少到八次，通过这种方法，让学生有计划地消灭错题，看到自己每天的进步，循序渐进地改变审题习惯。

2.編制《忆往昔峥嵘错题》的练习卷，开设《敢问错在何方》的活动课

在学生整理的同时，教师也应当整理出一个“错题题库”，并定期采用“题库”中的题目进行“错题再练”，以实现良好审题素养的培养。错题再练的试卷在编制过程中应当有所混合，即保证大部分都是“错题再练”的情况下，混入一些普通题目；对错题本身不应照搬照抄，对题干题枝，材料问题可以适当地做一些创新和调整，以防止学生对错题进行机械记忆。“错题题库”应当丰富多样，可以是选择题，可以是判断题，也可以是改错题。题库也应当经常更新，使得题库能够有序流动。

在高三大量的复习课背后，如果能定期的开展一节以《敢问错在何方》为主题的课堂，一方面纠正了错误，另一方面加深了学生对错题的印象，更加强化了师生、生生之间的互动和情感。

（三）合作与探究，形成正确表达方式

教育家罗杰斯说过：“凡是教师能够讲述的，能够传授的知识，多半是死的，凝固的，无用的知识；只有学生自己发现、探究的知识，才是活的，有用的知识。”思维是具有高度抽象性的意识活动，很多情况下只可意会不可言传，对于这种类型的错误，单纯依靠教师的讲解分析是苍白无力的，教师应当在充分表达自己的解题思路的同时，鼓励学生自主探究，形成属于学生自己的正确合理，且个性化的思维方式。

1.学生自我剖析错题，重视学生心理素质的培养

波利亚提出的数学教学的三原则之首是主动学习原则，弗赖登达尔也认为学校的教学必须使学生由被动地听发展到主动地获取知识.让学生说题，本质上是对老师说题活动的模仿，就是把审题、分析、解答和回顾总结的思维过程按一定准则说出来，促使学生暴露面对题目的思维过程，通过老师引导，同学相互补充，去伪存真，系统地把握解题过程。

案例：已知平面向量满足，则的取值范围是_________ .

生甲：①知识点：此题主要涉及向量模的概念及其运算.

②切入点：本题的关键是如何将条件进行有效转化，使等量关系转化为不等量关系.本题条件为等量关系，而要求的结论是不等量关系即的取值范围，一般可以通过“与的不等关系”、“向量的几何表示”、“模的运算转化为数量积的运算”、“向量的坐标表示”等途径将两者联系在一起.

③解题思路：

方法1（不等式法）：根据三角不等式可得，即.

方法2（几何法）：当不共线时，可构成如图三角形，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得，所以.

方法3：两边平方得，整理得，解得.

方法4：记，，则.以所在直线为轴，以为坐标原点建立直角坐标系，则可求得点的轨迹方程为，则的取值范围.

④溯源：从本题的方法4可以看出本题源自阿波罗尼斯圆（笔者曾经作过专题复习，所以学生经过自己深入分析能找到题目的本源），即三角形一边为定值，另两边的比值为定值的动点轨迹

⑤延伸：

结论的延伸：（2008江苏）满足条件的三角形面积的最大值是 ___________.

题设的推广：（2010浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是 ___________.

由于说题的技能涉及到程序性知识，所以，开始时教师要多通过自己的说题来示范，否则，学生可能会感到无从下手；要明确要求每一位同学在说题之前有自己的想法，要在说题之前有充分的准备；所说的题目以中等难度或稍微偏难一点的，不能太难，太难则没有思路，不能太容易，太容易则没有挑战性；说题训练要有专门的时间安排，并且要长期坚持，比如每两个星期选一节自修课进行训练；说题的重点在于对学习过程中对思维活动的检查和调节，要反思自己是怎样发现和解决问题的，要立足于反思数学问题解决过程的3个阶段：解题目标的认定与计划的拟定、解题中的实际控制、解题后的反思；通过一段时间的说题，可以进行测验以检验说题效果，让同學们看到效果会激发同学以更大的热情投入到这一训练活动中。

2.课堂例题教学中，形成有效的反思示范

反思是为了把从反思过程中所获得的感性认识悟化到理性认识的过程，从中发现规律，洞察本质。这个过程对学习数学，理解数学具有特殊的重要性，但这恰恰又是学生感到比较困难的地方。因此，如何进行反思，如何从反思中发现规律，这些都需要教师在课堂教学中进行示范、点拨。比如我在对高三学生进行三角恒等变形教学过程中，师生一起进行了如下的解题反思：

案例、求值：

解：原式==

==.

反思解题过程 这个题目的特点有：

（1）三角名称中既有正弦，又有正切，所以应减少函数种类，方法是“切化弦”，这是求解这类题的通法。

（2）在化简的第二步，分子中出现了同一个角的正弦与余弦的和，可考虑应用来进行化简。

（3）同一个角的正弦与余弦的积利用了二倍角公式来化简。

通过这个反思，学生基本上能理解这个题目的实质，类似情境下的问题学生能轻易解决了。当然这个反思过程需要教师在课堂中与学生一起探索，学生才能掌握并逐步形成反思性学习习惯。

参考文献：

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，1998.

[2]杜晓新、冯震著.元认知与学习策略[M] .北京：人民教育出版社，1999

[3]章建跃.为什么学生听懂了却不会用[J].中小学数学（高中版）2010（12）

[4]董荣森 以“目标”引领教学以“三动”激活课堂。中学数学教学参考2014.12