加法累数制与乘法累数制

张新春

1.加法累数制与罗马记数

先人们在利用刻痕记数时，会遇到“奈何姓万”的麻烦。于是，在一次次的刻痕过程中，他们逐渐意识到可以用一些简单的办法来处理：刻到一定的数量后，为了表示比当前刻的再多一个，不再用多刻一条的办法了，而是改用一个新的符号表示。比如，为了表示10，不是在刻了9条后再刻1条，而是用一个新的记号X表示。当然，20就用XX表示，而当X累加到一定个数时（比如X个）后，又创造一个新的符号表示。这就是加法累数制度。

所谓加法累数制，是指这样一种记数方法，它为每一个较高级的单位创造一个新的符号，而记录多少个单位就把这个单位重复写多少次（有时再配以适当的其他处理，随后将介绍）。由于创造了符号（比如用M表示1000），与简单的刻痕记数相比，这种加法累数制的优势是明显的：只要想想写一个M与刻1000道刻痕的区别就知道了。罗马记数就是典型的加法累数制。

罗马记数于12世纪以前盛行于欧洲，今天某些特定的场合还在使用，比如与文件内容、书籍章节等相关的序号。罗马记数用一些拉丁大写字母表示数目，下表中是基本的罗马记数符号。

用V表示5，据说是因为V是一只手掌的形象（四指并拢，大拇指分开），字母X表示10，则是因为X是两个V合起来。C是表示一百的拉丁语centum的第一个字母，而L则是由C的一半变形而得。M是千的拉丁语mille的第一个字母。

作为一种典型的加法累数制记数法，罗马记数有“重复几次”“左右加减”和“加横线”等法则。

（1）“重复几次”：若干个相同符号并排排列，等于各个符号所表示数相加的总和。比如，III表示3，XX表示20，CCC表示300等。“重复几次”的法则是加法累数制记数法的基本特征。

（2）两个不同符号并列，若右边符号表示的数大于左边符号表示的数，由“减法原则”即大减小的原则，表示大数与小数的差，比如，IV=5-1=4，IX=10-1=9。

（3）兩个不同符号并列，若右边符号表示的数小于左边符号表示的数，由“加法原则”即两数相加的原则，表示大数与小数的和。比如，VII=5+1+ 1=7，XVI=10+5+1=16。

（4）在符号上加横线，表示“1000倍”，比如，V=5×1000=5000。

像罗马记数这样的加法累数制记数法还是相当笨拙的，一个简单的数，写起来会有一长串，比如，3888=MMMDCCCLXXXVIII。

另外，毕竟符号是有限的，要表示大数，会有更明显的局限。更重要的是，罗马记数的四则运算异常复杂，甚至一些基本的四则运算都只有专家才掌握。丹齐克先生在《数：科学的语言》一书中描述过一个关于15世纪一位德国商人送儿子求学的故事：“话说这位商人有一个儿子，他想使儿子学些高深的商业教育。于是他去求教大学里的一位名教授，该把儿子送到哪儿去念书。教授回答说：如果这位青年的数学课程将只限于加和减，他可以进国内的大学学习这些功课；至于乘和除，还是意大利最先进。他认为，只有到那里去才能得到那种高等的教育。”因此，这种记数法不得不退出历史舞台。

2.乘法累数制与中国记数

乘法累数制是将加法累数制中的重复几次的办法改为乘法。比如，500，借用罗马记数的符号，不用把表示100的符号C重复写5次（记作CCCCC），也不用发明一个新符号D表示500，只需把表示5的符号V和表示100的符号C写在一起，即VC。这样做即可避免重复。

中国的记数法是典型的乘法累数制。比如，4560，不用写作“千千千千百百百百百十十十十十十”，也不需要发明表示4000、500、60等数的新符号，而只需记为“四千五百六十”。

显然，乘法累数制也需要一些表示特定的数的符号（不然就成了“结绳记数”或“刻痕记数”了）。中国记数法使用十进的乘法累数制。用以下13个字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万，就可以表示相当大的数。《周髀算经》中即有很多大数。比如，“从周南至日照处三十万二千里，周北至日照处五十万八千里，东西各三十九万一千六百八十三里半”。这里的三十九万一千六百八十三=39×10000+1×1000+6×100+8×10+3。

而据考证，以上13个字早在甲骨文中就有了，只是写法有些不同，大体如下图所示。

其实，我们在小学数学里教学的“读数”，就是把数写成中国的乘法累数制。

乘法累数制也有一个规定多少个单位的问题。事实上，如果最大的单位只到“万”，那么九千九百九十九万九千九百九十九后面的一个自然数就应该记作“一万万”，这样数下去，还会出现“一万万万”“一万万万万”……

对于万以上的数，后来又增加一些新字，以表示更大的单位。如，《数术记遗》提出亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载等10种名称。但有三种不同的进位法：

1.十进：十万为亿，十亿为兆，十兆为京，……

2.万万进：万万为亿，万万亿为兆，万万兆为京，……

3.自乘进位：万万为亿，亿亿为兆，兆兆为京，……

……

这种规定相当繁琐，又不统一，很容易弄错，所以已被淘汰。现在只剩下“万万为亿”还在使用。