数学应让学生学会思维（中）

郑毓信

三、努力养成学生长时间思考的习惯与能力

这是诸多数学家的一项共识，即认为数学学习的主要功能之一是有益于人们学会长时间的思考。但是，我们在现实中过分突出了学生即兴思维能力的培养，以致完全忽视了对思考的习惯与能力的培养。

由以下论述我们可更好地理解切实纠正后一倾向的重要性。

日本著名数学家、菲尔茨奖获得者广中平佑曾明确指出：“思考问题的态度有两种：从专业角度看，一种是花费较短时间的即时思考型，一种是较长时间的长期思考型。所谓的思考能人，大概就是指能够根据思考的对象自由自在地分别使用这两种类型的思考态度的人。但是，现在的……教育环境不是一个充分培养长期思考型的环境。……没有进行长期思考性训练的人，是不会深刻思考问题的。……无论怎样训练即时性思考，也不会掌握前面谈过的智慧深度。”（引自广中平佑，《创造之门》，中国华侨出版社，1991）

“台湾学生在历年国际评比中的数学表现、成就表现始终名列前茅，然而……学生对于数学的功用、喜爱和自信心的表现却始终是倒数前几名……呈现出‘高成就、低信心的特征……猜测造成此现象的主要原因来自于考试制度下的数学学习特性，学生为获取较高分数，必须使用适当的演算法快速求得答案……学生少有时间与机会发展自己的思想，学习多为被动、背诵及反复练习的方式。”[8]

在此还可特别提及2002年诺贝尔经济学奖得主康纳曼的名著：《快思慢想（Thinking，Fast and Slow）》（Penguin Books，2011）。这一著作主要集中于日常思维的研究，以下就是作者的主要结论：这是日常思维的主要特点，即快思占据了主导地位。但是，尽管后者对于人类的生活与工作都有十分重要的作用，但常常会导致各种系统性的错误，并因此造成一定的消极后果。

综上可见，这就是数学教育所应发挥的一个重要作用，即帮助学生学会长时间的思考，从而切实减少快思（日常思维）可能出现的弊病。

那么，我们如何帮助学生很好地学会长时间的思考呢？就当前而言，以下一些环节可被看成具有特别的重要性，即我们在教学中应当很好地处理快与慢、多与少、热闹与安静以及学生的独立思考与合作学习、积极交流之间的关系。

例如，盡管以下的论述来自语文教师，但显然也适用于数学教学。

“如果一节课的内容太多，承载的任务太重，学生上课时很忙碌，思考力就很难得到提升，学习力会越来越弱。若课堂只聚焦几个核心问题，让学生深入思考，看上去学得少、学得慢，但思考的方式、方法丰富了，思考力便能提高，且会越来越强。”（林莺）

“传统教学强调激发学生的学习兴趣，培养学生参与学习的积极性与主动性，课堂往往呈现出热闹的氛围……而我们……倡导安静，是否会因静而冷，冷却了学生的学习兴趣，影响学生的注意力甚至学习成效呢？对此，我们在反思中从心理学角度帮助教师消解困惑，认识到人的思维专注进入心无旁骛的境界，便走向了潜心静思，而安静的氛围就会保证这种静思不受干扰。”（林莘）

进而，我们显然也可从同一角度思考数学教学中应当如何处理学生独立思考与合作学习、积极交流之间的关系。这也就如著名数学家陈省身先生所指出的：“数学是自己思考的产物。首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果。但是，思考数学问题需要很长时间。我不知道中小学数学课堂是否能够提供很多的思考时间。”

综上可见，我们就应明确倡导“认真地想，静静地听，轻轻地说”这样一种学风，努力营造安静的课堂、思维的课堂、开放的课堂。

显然，上面的论述也可被看成从又一角度更为清楚地表明了教师引导作用的重要性。就目前的论题而言，我们可做出如下的概括：教师在教学中应给学生的独立思考提供足够的时间与空间。

以下再提供这方面的一个实例。

例3图形的放大与缩小的教学。

这是苏教版教材六年级下册的一个内容。以下是教材中对这一题材的处理方式（见图3）。

也正因为此，在现实中，我们经常会看到这样的教学设计，即围绕上述问题放手让学生进行探究：“放大前后，照片的长有什么关系，宽呢？”在笔者聆听的一堂展示课中，任课教师对此做了这样的概括：“让学生自己发现图形放大和缩小的本质与规律。”

但是，这又是现实中经常可以看到的一个现象，即学生在课堂上似乎只是忙于度量和计算，却看不到积极的思维活动！

从而，我们也就应当认真地思考究竟是什么导致了上述现象的产生。

事实上，在笔者看来，这正是这方面最为重要的一个问题，即就上述内容的教学而言，我们为什么要突出“放大前后，照片的长有什么关系，宽呢？”这样一个问题？或者说，这一问题究竟是从哪里来的？

具体地说，我们在此首先应肯定这样一个事实：放大与缩小并非专门的数学概念，而是在日常生活中有着广泛的应用。正因为此，这就容易在学生头脑中造成一定的混乱，但这也为教学中很好地渗透数学化的思想提供了良好的契机。

以下就是一些具体的教学建议。

第一，教学中应当清楚地指明日常视角与数学视角的联系与区别。

具体地说，在日常生活中，所谓放大或缩小，主要是指图形大小的变化，人们在此关注的主要是各种现实的需要，包括美学的思考，等等。

与此相对照，数学中所说的放大或缩小，则是指这样一种变化：尽管图形的大小有所变化，但其形状始终保持不变。也正因为此，这一内容的学习可被看成清楚地表明了数学概念的这样两个特征：一是源于现实，高于现实。这也就是指，数学概念的形成意味着由特殊上升到了一般，从而也就具有更大的普遍性。二是相对于现实原型而言，数学概念的生成是一个重新建构的过程，也是一个重新定义的过程。

第二，上述课例从一开始就对学生的探究做出了明确规定，即要求他们围绕“放大前后，照片的长有什么关系，宽呢？”进行研究。因此，尽管从形式上看，学生似乎处于十分主动的地位，但所说的探究事实上是一种假探究。因为，尽管学生一直忙于度量与计算，但看不到积极的思维活动！

与此相对照，教师应当注重自身指导性工作的启发性，即在做出引导的同时为学生的主动探究留下充分的空间。例如，从后一角度分析，笔者以为，与上述的问题相比，以下的问题引领更为恰当：（1）我们如何具体地判断两个图形的形状是否一致？或者说，什么可以被看成决定图形相似的主要因素？（2）就图形的放大或缩小而言，有哪些成分发生了变化？又有哪些成分始终保持不变？从更为一般的角度分析，后者直接关系到了这样一个问题，即我们应当围绕哪些因素从事平面图形的研究？或者说，什么可以被看成平面图形的主要成分？

第三，作为必要的拓展，我们在课堂上或许还可提出这样一个问题：就图形的放大与缩小的实际应用而言，什么是最重要的因素？数学中又是如何对此进行表征或刻画的？

不难想到，上述问题涉及比的概念。特别是，相对于放大与缩小等日常语言而言，后者不仅具有更大的精确性，也清楚地体现了数学研究的这样一个特征：这是一种定量的研究。

最后，笔者以为，我们或许也可从同一角度更好地理解先学后教、翻转课堂等教学方法或教学模式的意义：相关的要求，如学习单与微视频的制作等，显然要求教师在少而精这一方面做出切实的努力，不同的教学模式也为学生的独立思考提供了更大的空间和更多的时间，包括更加安静的学习环境。

四、帮助学生学会反思

首先应当指出，对于这里所说的反思，我们既不应简单地理解成一般修养意义上的自我反省，如“吾日三省吾身”等，也不应唯一地理解成严格意义上的数学抽象，即皮亚杰所谓的自反抽象。当然，它们之间也有一定的交叉，但这又是这里所说的反思最为基本的一个含义，即我们如何通过进一步的思考发展已有的认识，特别是，能够想得更清晰、更深入、更全面、更合理（也正因为此，这就不局限于单纯的自我纠错的范围）。另外，与主要由于外部的促进或压力而进行的思考相比，这里所说的反思更加强调主体的自我意识（从而，这显然也就不应被归结为所谓的无痕教育），并能真正成为主体的自觉行为———也正因为此，从时间的角度看，这并非仅仅是指事后反省，而是应当成为主体思维活动十分重要的一个组成部分或基本特性。

当然，强调主体的自我意识与自觉性又不应被理解成是一种纯粹的先天能力，或是封闭式自我修养的结果。恰恰相反，后天的学习，特别是教师的恰当指导在这方面具有十分重要的作用。当然，后者在很大程度上取决于教师本身对此是否具有足够的认识，并能在教学中采取恰当的方法与措施很好地加以落实。

以下就是这方面的一个具体经验。

例4主体性反思：小学数学教学应有的价值追求。（翟长丽，《教育视野》，2015年第12期）

这是作者在这方面的基本认识：“当前，在课改理念的影响下，数学课堂发生了很大的变化。数学教学中的学习形式越来越多样化，自主探索、合作交流、实践操作等学习方式逐渐成为数学课堂的主流。可是，这些看似丰富的外在形式所生成的学习成果是否与学生主体的内在反思、情感体验相结合，以实现数学知识的意义建构呢？我们看到在很多形式化的教学背后，主体性反思是非常缺失的：学生不善于寻找自己的认知错误，不善于或不愿意检验自己的思维过程，不善于反思自己的学习策略和情感体验，自主建构成了教师牵制下的被动参与。”正因为此，“我们必须把学会反思纳入到学会学习的实质性范畴，让学会反思成为新时期学会学习的新视点，成为理想课堂的新追求”。

以下就是这方面的一些具体建议。

第一，创设反思性问题情境，培养反思意识。

首先，教师要创设和谐、民主、宽松的环境氛围，帮助学生看到学习中的问题，使反思性学习活动得以和谐开展。其次，教师可以从学生的实际和认知水平出发，通过创设反思性问题情境，引发学生对学习过程中的基础知识、学习方法、解题策略、情感体验等做自觉的回顾反思，使不同个体在思维碰撞中将思维推向深刻，也让学生体验到适时的反思是深化思维的催化剂。

第二，追溯学习过程，提高反思能力。

当某个新知教学告一段落，或探究活动已经完毕，或全课教学即将结束，此时更需静静回望反思，追溯探究过程，梳理新的信息，完善认知结构。这里的反思学习，可以是對学习内容的链接、串联，也可以是对学习方式的评估、分析，还可以是对解题策略的总结、回顾。这种指引回望式的反思学习，能够让学生的思维由表层走向深刻，迈向成熟。那么，课堂教学中的哪些环节可以进行反思呢？

一是课始反思，链接经验。

根据学生的认知水平、生活经验及教学实际内容，教师要引领学生主动寻求新旧知识的链接点，唤起学生相关的数学经验，找到学习的最近发展区……可以从这样几个方面引导学生反思：这节课与学过的哪些知识和方法有关，这些方法和知识对研究这节课有何帮助，等等。

二是过程反思，深化思维。

针对不同的数学活动，适时适当地引导学生进行对比反思、联想反思、因果反思、逆向反思等反思性学习，不仅可以优化算法，还能有效地促进学生反思能力的提高。

三是课尾反思，省思得失。

课尾进行的反思总结，能对一堂课起到画龙点睛的作用。用短短的几分钟，引领学生对所学的知识及运用的思想方法作一次梳理和反思，不仅可以巩固新知，而且有助于提升数学思想和解题策略，促进情感的积极发展。

第三，探寻出错根源，提升思维品质。

我们在批改作业和试卷时，对学生出现的一些错误，常常费尽心机去揣摩学生产生错误的根源，绞尽脑汁思量如何改进自己的教学方法，结果收效甚微。后来，我尝试着让学生对作业和考试中的错误进行反思，探寻出错根源，并对症下药，收到了事半功倍的效果。

最后，相关教师对这方面工作的重要性做了如下总结：“数学知识不易终身铭记，但数学精神会激励终生；解题技能很难终身掌握，但反思的方法会受用终身。‘思之则活，思活则深，思深则透，思透则明，思明则新，思新则进。”又，“反思应当是一项持之以恒、日积月累的系统工程，需要教师遵循循序渐进的原则和一以贯之的耐心扎实践行，最终让学生进入学会学习的至高境界”。

当然，除了对课堂教学的各个环节进行分析，我们还应采取更为广泛的视角。例如，就如何帮助学生想得更清晰、更深入、更全面、更合理而言，以下就是两个特别重要的方面。

第一，清楚的表述，有效的互动。

容易想到，为了清楚地说出自己的想法，主体就必然要对自己头脑中的已有想法作出梳理与检查。我们显然也只有更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，才能对其他人所表达的意见做出适当的评论，乃至实质性的补充或改进。

从上述角度我们也可更好地理解以下做法的适当性。

例5关于知识表述与交流的要求。（课改改到深处是“细节”，《人民教育》，2012年9期）

文中明确指出：“数学知识表述是个关键环节，决定了课堂交流的深度。”也正因为此，他们对学生的课前预习提出了如下要求：“假设每一个知识都让你自己去讲演，你会怎么讲？”

以下则是他们关于交流、倾听与互动的具体要求：“如果能让全班同学在最短时间内理解自己的想法，那么他就是最棒的。如果能够给他人提出补充，提出一针见血的思路，也是成功的。”

当然，对于不同学段的学生而言，我们又应提出不同的要求或重点。这也正是以下论述所给予我们的主要启示：

“不同学段的小学生应有不同的重点：低年级的认知活动以启动儿童的认知机制为主，鼓励儿童发表自己的想法，并倾听别人的意见而与同伴互动学习；中年级的教学活动以发展数学课堂中的社会性互动为主，使儿童能以澄清的方式对做法是否合理等进行讨论和辩证；高年级的教学活动则进一步要求学生在解题活动中提升效率，进行比较科学的解题思考，让学生回归文化传承的解题方式，以及熟悉一些技巧和知识，后者也应成为讨论的重点。”（黄敏晃）

第二，很好地把握深度与广度的辩证关系。

具体地说，只有采取较为广阔的视角，我们才能使自己的认识更为深入；反之，也只有从更为深入的角度进行分析思考，我们才能发现事物与现象之间的联系，包括它们的共同本质。

就当前而言，我们应特别强调这样一点：应用联系的观点去指导教学，即着力于揭示不同知识内容之间的联系，可使认识进一步深入。

以下就是这方面的两个实例。

例6小数的意义教学。

从联系的观点进行分析，小数的教学显然应特别重视这样一点，即我们应当将小数的认识与自然数的认识联系起来：如果说自然数的认识主要涉及各个更大的计数单位（十、百、千等）的引入，那么，小数的认识则体现了相反方向上的发展，即引入了若干更小的计数单位（0.1、0.01、0.001等）。

進而，就相关的认识活动而言，这又可以被看成它们的共同关键，即我们如何帮助学生很好地实现由单一性概念结构向多单位概念结构的必要过渡。特别是，能清楚地建立起这样三个认识：（1）只有同一数位上的数才能直接进行加减；（2）同一数位上的数的加减与个位上数的加减完全相同；（3）进位与退位的概念。（更为一般地说，就是位值制的概念）（详可见另著《国际视角下的小学数学教育》，人民教育出版社，2004，第10.1节）

例7分数的初步认识教学。

就分数与倍数这两个概念之间的联系而言，我们应特别强调这样一个认识：除了单位1以外，我们也可用其他的数作为比较的基本单位。更为具体地说，就倍数而言，这显然就是指将两个数之中的较小的数看作新的计量单位。与此不同，分数的引入则代表了相反方向上的运作，即将较大的数看成了新的计量单位。

进而，我们显然也可从上述角度理解教材中的这样一个论述：“一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体。把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。”这也就是指，上述的认识直接关系到关于分数意义的这样一种解释：整体与部分之间的关系。

当然，与唯一强调分数意义的上述理解相比，这又可被看成分数教学的真正难点：由于分数具有多种不同的意义，因此，作为分数的初步认识，我们既应帮助学生很好地掌握部分与整体之间的关系这样一种具体的解释，也应帮助他们清楚地认识到这样一点：我们在此事实上是在自然数以外引进了一种新的数，从而也就从又一角度体现了数的不断扩展这一重要的数学思想。

容易想到，上述实例也可被看成对教师本身的专业水准提出了更高的要求。更为一般地说，这也就是指，如果教师本身不具有积极思考的习惯与能力，学生就不可能在这方面取得实质性的进步；又，“教学就是要启动学生主动思考，……教师自身也必须‘主动思考”[8]。

最后，依据上述分析，相信读者可以很好地理解这样一个论述：“真正的数学头脑是思维的头脑，是内省的头脑，这也是学校应当教给学生的东西。”[9]

（待续）