一道数列不等式证明方法的深入探究

童昌盛

[摘 要] 本文對一道数列不等式证明深入探讨，得到五种不同证法，从而开拓学生的思维，感受数学知识的联系与应用，提升学生分析问题的能力，开发学生的解题智慧.

[关键词] 放缩；转化；构造

（联考试题节选）？摇证明：+++…+<（n∈N*） .

证法一：柯西不等式放缩

+++…+

<++…×（12+12+…12）

=n×++…+

=n×-+-+…+-

=n×-=，

所以+++…+<<，

故原不等式成立.

点评：联系柯西不等式，构造其形式，达到放缩目的从而可以求和得结论，可很好地考查和训练学生的知识之间的联系与应用.

证法二：构造新数列放缩

记Tn=1+++…+，

则T2n-Tn=1+++…++++…+-1+++…+

=1+++…++++…+-2+++…+

=1-+-+-+…+-.

当n≥3时，T2n-Tn<1-+-+=<=.

因为T2n-Tn=++…+，

当n=1时，左=<，当n=2时，左=+=<<，

故原不等式成立.

点评：通过本试题的结构特点，构造新的数列，把后面负数丢掉，从而放大，但要注意不能放得过大，这里可以考虑从哪一项开始放缩.这种证法能很好地培养学生的构造思想，同时也提醒在放缩过程中的放缩大小.

证法三：倒序求和与放缩

设An=+++…+，

An=+++…+，

所以2An=++++…++

=（3n+1）++…+.

又（2n-k）（n+1+k）=2n（n+1）+2nk-（n+1）k-k2=2n（n+1）+（n-1）k-k2

=2n（n+1）+（n-1-k）k≥2n（n+1），

所以<，

所以2An<（3n+1）++…+=（3n+1）

=<=，

所以An<<，

故原不等式成立.

点评：这种证法是根据不等式的特点，利用倒序求和得到另一规律，从而进行放缩求和完成证明. 这种证法考查学生的观察分析能力.

证法四：定积分应用

+++…+=·++…+，

根据定积分定义得

·++…+

因为ln2-=<0，

所以+++…+<.

点评：根据定积分的定义与其该不等式的结构的关系，从而进行放缩证明.这种证明方法很好地考查学生的知识间的联系及其相互应用.

证法五：数学归纳法——加强不等式

先证明不等式：

+++…+<-（n≥2，n∈N*）

用数学归纳法证明

当n=2时，左边=+=<==-=右边，

所以不等式成立.

当n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即+++…+<-，那么，n=k+1时，

左边=++…+++

<-++-

<-<-，

所以当n=k+1时，不等式成立.

由上得，不等式+++…+<-（n≥2，n∈N*）成立.

显然，-<（n≥2，n∈N*），

当n=1时，左边=<=右边，

综上，可得，+++…+<.

点评：数学归纳法中加强不等式构造也是数列不等式证明出现的一种现象，先证明一个可以用数学归纳法证明的不等式，另一个不等式-<（n≥2，n∈N*）显然成立，从而得证. 这种证法考查学生的数学归纳法的掌握深度.