三维Navier-Stokes方程在Morrey空间的正则性准则

王玉田,迟美玲，李心亮

(山东理工大学 理学院，山东 淄博 255049)

三维Navier-Stokes方程在Morrey空间的正则性准则

王玉田,迟美玲，李心亮

(山东理工大学 理学院，山东 淄博 255049)

在三维欧式空间中研究了Navier-Stokes方程弱解的正则性准则，利用能量估计的方法以及几类不等式，在Morrey空间中得到了关于形张变量分量的正则性准则.

Navier-Stokes方程；正则性准则；Morrey空间；形张变量分量

(1)

式中u=u(x,t)表示速度场；p=p(x,t)表示压力项；u0(x)表示给定的初始速度场且在分布意义下满足·u0=0.

Leray[1]与Hopf[2]证明了：若初值u0∈L2(3),则方程(1) 存在弱解u∈L(0,;L2(3))∩L2(0,;H1(3)),这个弱解被称为Leray-Hopf弱解.然而，这个弱解的正则性和唯一性仍然是具有挑战性的公开问题.

Serrin[3]提出了如果弱解u(x,t)满足u(x,t)∈Lp(0,T;Lq(3)),其中<,，则这个解满足u(x,t)∈C((0,T)×R3).

BeiraodaVeiga[4]证明了，如果Leray-Hopf弱解满足ω(x,t)∈Lp(0,T;Lq(3)),其中<,<,那么u(x,t)在(0,T)上是整体的强解.

在过去的几年中，关于速度场梯度分量的正则性准则被众多学者进行了研究[5-11].

Zhou[12]得到了涉及一个分量的正则性准则，如果<,则弱解在(0,T)上是光滑解.

在文献[13]中, 作者得到如下涉及一个分量的正则性准则].

本文在这个方向上进行进一步的探究，利用能量估计的方法以及几类不等式，在Morrey空间中得到了关于形张变量分量的正则性准则.

定理1 设T>0，u0∈H1(3)且·u0=0,u(x,t)是方程(1)在[0,T]上的弱解，其中初值为u0. 若

(2)

式中r∈[0,1],j=1,2,3

则弱解u(x,t)在[0,T]×3上是强解.

1 预备知识

Morrey空间的定义和性质如下：

定义1 若1

引理 1[14]若 0≤r≤1，则有如下不等式

2 定理1的证明

为了证明定理1，首先对方程的光滑解作一些先验估计.

引理2 设T>0，u0∈H1(3)，且在分布意义下是方程(1)在[0,T)上的弱解，其中u0是初值. 若速度场梯度满足条件(2),则有

(3)

由分部积分，可得

(4)

下面逐项估计(4)式的右边.

(A) 当i=j=3时,

C‖σ33hu‖2‖hu‖2≤

(B) 当i=j=k(1,2)时,

(∂1u1)(∂2u2))dx≤

(C) 当i≠j=k(1,2)时,

(D) 当(i=k≠j)+(i=j≠k)(1,2)时,

(E) 当(3=i≠j)+(3=j≠i)时,

综合(A)-(E),可得如下不等式,

利用Gronwall不等式，可得

因此，若u满足条件(2)，则引理2得证.

引理3 若T>0，u0∈H1(3)，且在分布意义下·u=0.假设是方程(1)在[0,T]上的弱解，且初值为u0.若速度场梯度满足条件(2), 则有

证明 在空间L2(3) 中，方程(1)两边同时乘上-Δhu，得到

显然

由引理2的证明可知，只需估计右式的第二项.由分部积分可得

(5)

下面逐项估计(5)式的右边.

(A)当(i=3≠j)+(j=3)时

(B) 当(i,j≠3)时,

综合(a),(b)以及引理2的证明过程，可以得到如下不等式

由Gronwall不等式，得到

因此，若u满足条件(2)，则引理3得证.

利用强解和弱解的经典理论，结合引理2和引理3，证明了定理1.

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(编辑：刘宝江)

A regularity criterion for the 3D Navier-Stokes equations in the Morrey spaces

WANG Yu-tian, CHI Mei-ling, LI Xin-liang

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

The regularity criterion for weak solutions to the 3D Navier-Stokes equations is studied. By the energy method and some inequalities, one regularity criterion in terms of one component of the deformation tensors in Morrey spaces is obtained.

Navier-Stokes equations; regularity criterion; Morrey space; one component of the deformation

2016-09-20

王玉田, 女, 15165339057@163.com

1672-6197(2017)04-0076-03

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