奇思妙解通题关

胡晓月

【摘 要】圆锥曲线是高中数学的重点之一，也是近几年高考数学试题命题的 热点和重点；它往往是综合题，在高考试卷中常处于压轴题的位置，题型变化灵活，能考查学生多方面运用能力，是出活题，考能力的典范；学生在面对一些圆锥曲线的综合题时往往思维不畅，甚至出现“会儿不对，对而不全”等现象

【关键词】直线参数方程中的几何意义；参数法；圆锥曲线弦长公式；根与系数的关系

高中数学难，圆锥曲线又是难中之难，这已经成为几乎所有高三学生的心头痛.特别是直线与圆锥曲线问题，以其独有的特点——用代数方法解决几何问题，以其重要的思想——数形结合的思想将几何问题化为代数问题，被视为高中数学的重点内容，它与代数、向量、数列、导数等知识的交汇问题，体现了知识面广、综合性强、命题新颖等特点，一直是高考的重点、热点.也是学生们失分点.其实，解析几何题目自有路径可循，方法可依。只要经过认真的分析和正确的推理，再结合知识体系的构建完全可以让高考数学的圆锥曲线难题变成让我们都很有信心的、得分的中等题目.下面就以2016年课标Ⅰ卷解析几何题为例谈谈我解题的感悟。

一、应用传统解析几何答题模板解决圆锥曲线弦长问题

设直线l与圆锥曲线C：f（x，y）=0交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点.弦长|AB|公式的计算方法如下：

1.求交点坐标法：

将直线与曲线的方程联立，求出A、B的坐标，根据|AB|= 求弦长.

2.根与系数关系法：

若直线l的方程为y=kx+m，将其代入f（x，y）=0中得？琢x2+bx+c=0，得x1+x2，x1x2，|AB|= = .若直线l的方程为x=n，代入f（x，y）=0，得？琢x2+by+c=0，得y1+y2，y1y2，|AB|=|y1-y2|.

【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

试题分析：根据|EA|+|EB|可知轨迹为椭圆，利用椭圆定义求方程；（II）分斜率是否存在设出直线方程，当直线斜率存在时设其方程为y=k（x-1）（k≠0），根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为x斜率k的函数，再求最值.

解：（Ⅰ）因为|AD|=|AC|，EB//AC，所以∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，又因为圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，所以|AD|=4，由题设得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为： + =1（y≠0）.

（Ⅱ）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

由y=k（x-1） + =1得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2= ，x1x2= .

所以|MN|= |x1-x2|= .

过点B（1，0）且与l垂直的直线m：y=- （x-1），A到m的距离为 ，

所以|PQ|=2 =4 .

故四边形MPNQ的面积S= |MN||PQ|=12 .

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8 ）.

当l与x轴垂直时，其方程为x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8 ）.

由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在于引出参，活点在应用参、重点在消去参.而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合题求解的一条有效通道.

二、巧设参数简化解题步骤

对于过一点P（x0，y0）设直线方程时，为了避免向上面解题中对直线的斜率存在与否进行分类讨论，我们可以把直线方程设为x-x0=m（y-y0），达到简化解题过程的目的.以上例的第二问为例解法如下：

数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心，以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程.在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等）做到思维缜密.推理严密.通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力.

三、利用直线的参数方程解决弦长问题能获得意想不到的效果

直线与圆锥曲线的综合问题是我们高考的重点问题，也是我们考试的难点问题，这类问题综合性强，难度大，重点考查运算求解能力，推理论证能力和探索问题能力，一般来说解题入口宽，但进入容易深入难，运算量大，费时耗力，若方法不当，则常常无功而返.但是对于直线与圆锥曲线的有关问题，我们若运用直线的参数方程中t的几何意义来处理，则可简化运算，提高解题效率.

经过点P0（x0，y0），倾斜角为？琢的直线的参数方程为x=x0+tcos？琢y=y0+tsin？琢（t为参数）

設P是直线上任一点，则t表示有向线段P0 的数量，利用t的几何意义计算弦长，有时比较方便.具体方法是：

把l：x=x0+tcos？琢y=y0+tsin？琢代入圆锥曲线C：F（x，y）=0，即可消去x，y；从而得到关于t的一元二次方程：？琢x2+bx+c=0（？琢≠0）.当△>0时，l与C有两个公共点；此时方程？琢x2+bx+c=0（？琢≠0）有两个不同的实根t1、t2，把参数t1、t2代入l的参数方程，即可求得l与C的两个交点M1、M2的坐标；另外，由参数t的几何意义可知弦长|M1M2|=|t1-t2|= .

下面给出例题第二问的第三种解法.

解（Ⅱ）：由题意可设直线l的参数方程为l：x=1+tcos？琢y=tsin？琢（t为参数，0<？琢<？仔），将l的方程代入曲线C1：： + =1中得，3（1+tcos？琢）2+4（tsin？琢）2=12，化简得（sin2？琢+3）

总之，在解题过程中，我们应该学会从观察、思考、联想、变换思考角度方面去分析问题，进而确定解题的思路和方法.我们也应该养成良好的学习品质，勇敢地面对遇到的任何困难，树立战胜困难的信心和决心.在我们的思维处于困难的时候，从条件的持定含义分析和解决问题，是解决数学难题的一种有效途径。