巧算椭类形状刚体的转动惯量

张定梅，蒋再富，杨 司

(荆楚理工学院 数理学院，湖北 荆门 448000)

巧算椭类形状刚体的转动惯量

张定梅，蒋再富，杨 司

(荆楚理工学院 数理学院，湖北 荆门 448000)

转动惯量是研究刚体运动规律的一个重要物理量，椭类形状刚体的转动惯量的计算十分复杂。本文利用惯量主轴法巧妙计算了椭类刚体绕过质心转动轴的转动惯量，给出了参数表达式，对大学物理教学有一定的促进作用。

椭球；转动惯量；惯量主轴

转动惯量是大学物理教学中的一个重要知识点，当研究刚体的转动问题时必须计算出刚体的转动惯量才能利用动量矩定理求出相应的物理量。在教学中经常有学生问到椭类形状刚体转动惯量的计算问题，如果采用极坐标积分的方法进行计算，过程将十分繁琐，很多文献中介绍了转动惯量的计算方法[1-7]，但利用惯量主轴法计算椭类形状刚体的转动惯量却鲜有提及。利用惯量主轴法计算时将大大减少计算量，提高计算速度，并且可以给出参数表达式，下面介绍这种简单的计算方法。

1 基本理论

定轴转动的刚体的转动惯量的定义式为[3]：

(1)

其中mi为所选取的刚体上任一质点的质量，ri为该质点到转动轴的垂直距离。对于复杂形状的刚体，质量微元不好选取，我们可以先选取刚体的对称轴作为惯量主轴，计算出刚体绕惯量主轴转动的转动惯量，然后利用公式(2)可方便的计算出刚体绕质心转动的任意轴的转动惯量。

I=Ixxcos2α+Iyycos2β+Izzcos2γ

(2)

其中α,β,γ为转动轴与惯量主轴的三个方向角。Ixx，Iyy，Izz为刚体绕惯量主轴的转动惯量，(2)式我们称为惯量主轴法，一旦确定了刚体的惯量主轴，便可方便地计算出刚体绕任一过质心轴转动的转动惯量。

2 椭圆盘形状刚体转动惯量的计算

图1 椭圆盘绕L轴的转动

由于L不是椭圆盘的对称轴，直接以L建立坐标系计算将十分不便，如果选取椭圆盘的对称轴建立坐标系，利用公式(2)计算将大幅简化计算过程，首先计算椭圆盘绕X轴转动的转动惯量Ixx。

图2 椭圆盘俯视图

选取如图2所示的积分元，由转动惯量的定义式可得出：

(3)

利用椭圆盘质量公式m=ρπabh和积分公式：

(4)

(5)

(6)

则依据公式2可求出椭圆盘绕L轴转动的转动惯量：

(7)

3 椭球形状刚体的转动惯量的计算

图3 椭球绕L轴的转动

根据前面的分析，我们先求出椭球绕三个惯量主轴转动的转动惯量，然后利用公式(2)可计算出该椭球绕L转动时的转动惯量。由于前面已经算出椭圆盘的转动惯量，我们可以利用前面的结果和平行轴定理计算出椭球绕其中一个惯量主轴转动时的转动惯量。

在椭球上垂直于Y轴取一个厚度为dy的椭圆形薄圆盘，该椭圆方程为：

(8)

(9)

(10)

如果a=b，椭球将转化为旋转椭球，转动惯量为:

(11)

4 结束语

本文利用惯量主轴法巧妙地算出了椭圆盘和椭球刚体绕过质心的任意轴的转动惯量，给出了参数表达式，并针对结果进行了讨论。在计算过程中利用了垂直轴定理和平行轴定理，并且利用了一些积分的技巧，所得结果可在大学物理课堂教学中进行推广。

[1]蒋再富,张定梅.转子定轴转动时轴上附加压力计算的研究[J].长江大学学报,2016,13(19):69-71.

[2]蒋再富,张定梅.惯量主轴法在三维刚体转动惯量计算中的应用[J] .荆楚理工学院学报,2016,32(6):68-70.

[3]周衍柏.理论力学课程3版[M] . 北京:高等教育出版社, 2014: 129-137.

[4]韩众.几种形状规则刚体转动惯量的计算[J]. 山西大同大学学报，2014，(4)：25-26.

[5]周瑞雪.对几种刚体转动惯量的研究[J].贵阳学院学报(自然科学版) ,2011,6(3):10-13.

[6]李祖贤,迟 锋.垂直轴定理的一般形式[J].渤海大学学报(自然科学版) ,2007,28(1):57-58.

[7]楼智美.巧算常见均质旋转体对母线的转动惯量[J].大学物理,2003,22(11) :26-27.

A Simple Calculation of the Moment of Inertia on the Elliptical Rigid Body

ZHANG Ding-mei, JIANG Zai-fu, YANG Si

(School of mathematics and Physics, Jingchu University of Technology, Jingmen Hubei 448000, China)

The moment of inertia is an important physical quantity for studying the law of motion of a rigid body. The calculation of the moment of inertia is very complicated for the elliptical rigid body. In this paper, the inertia principal axis method is used to calculate the moment of inertia on the elliptical rigid body around the center of mass, and the expression of the parameters is put forward. It has a certain promotion for the college physics teaching.

ellipsoid; moment of inertia; principal axis of inertia

2017-01-02

张定梅(1981-), 女,湖北江陵人, 讲师, 硕士,研究方向为力学。

O369

A

1674-344X(2017)2-0022-03