“圆”中渗透的数学思想

赵传东

“圆”中渗透的数学思想

赵传东

数学思想是人们对数学活动经验的概括和总结，是数学基础知识及基本技能的本质体现，是数学知识的提炼、升华和结晶，是解决数学问题的灵魂.本文就带你到“圆”形世界去挖掘其中所蕴含的分类思想和转化思想，领略其美丽的风采.

一、圆中的分类思想

由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在没有明确图形位置的情况下，符合题意的图形可能有多种.因此在本章中应注意圆的问题的多样性，不要忘记分情况讨论.

1.点和圆位置关系中的分类讨论.

例1如图1，直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B、C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（）.

图1

A.25°或155°B.50°或155°

C.25°或130°D.50°或130°

【分析】点D可以在劣弧上，也可以在优弧上.

解：当点D在优弧BC上时，如图1，连接OB，∵直线AB与⊙O相切于B点，∴∠OBA= 90°，∠AOB=50°，∠BDC=∠AOB=25°；

∴∠BDC的度数为25°或155°.

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.由于点D既可在优弧BC上，也可在劣弧BC上，所以要分两种情况讨论.

2.直线和圆位置关系中的分类讨论.

例2如图2，平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）.

A.1B.1或5C.3D.5

图2

【分析】⊙P可以在y轴的左边也可以在y轴的右边.

解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.

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【点评】本题主要考查了切线的性质的应用等知识，由于圆P在运动过程中，既可能和y轴左边相切，也可能和y轴右边相切，所以要分情况讨论.

3.圆与圆位置关系中的分类讨论.

例3以O为圆心的两个同心圆中，大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm，若圆P与这两个圆都相切，则圆P的半径为.

【分析】圆P既可以和小圆内切同时也可以和小圆外切.

解：①若圆P与小圆外切，如图3（1），此时圆P的半径=1 2（3-1）=1（cm）；P的半径

图3 （1）

图3 （2）

【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，虽然圆P只能和大圆内切，但和小圆既可内切，也可外切.所以两圆相切，应分情况讨论.

二、圆锥中的转化思想

例4如图4所示，圆锥的母线OA=8，底面的半径r=2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是.

【分析】将圆锥沿一条母线剪开，其侧面展开图是一个扇形，小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，爬行的︵最短路线的长实际上是扇形中弦AB的长度.AB的长度就是圆锥的底面周长.

图4

【点评】对于立体图形研究两点间的最短距离，往往是先把立体图形展开成平面图形，再根据“在平面内两点之间线段最短”的性质解决.解决的关键是明确展开前后有关图形的对应关系.

例5如图5，在Rt△ABC中，AC=BC= 2 2，若把Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（）.

A.4πB.4 2πC.8πD.8 2π

图5

【分析】Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周形成两个圆锥，而且两个圆锥的形状完全相同.求所得几何体的表面积的关键是求出锥体的底面半径.

【点评】绕直角三角形的斜边旋转，首先要搞清直角三角形的直角边是圆锥的母线，斜边上的高是圆锥的底面圆半径.所以明确圆锥侧面展开图的扇形的弧长、半径与圆锥的底面圆周长、母线的对应关系是解决本题的关键.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）