三维自然电位测井的数学模型与求解方法

蔡志杰,陈娓,李大潜,王敬农

(1.复旦大学数学科学学院,上海市现代应用数学重点实验室,非线性数学模型与方法教育部重点实验室,上海 200433; 2.上海立信会计金融学院统计与数学学院,上海 201209; 3.中国石油集团测井有限公司技术中心,陕西 西安 710077)

0 引 言

在油气勘探开发中,自然电位测井(Spontaneous Potential Well-logging)是最常使用的常规测井方法之一。由电化学理论可知,地层中正负离子具有不同的迁移速度,且泥质颗粒经常吸附正离子,因此,在不同的地层交界面上会产生稳定的电位差,称为自然电动势,从而在地层中形成一个电场。为与人为供电产生的人工电场相区别,称其为自然电场。自然电场的分布与岩性有密切关系,特别是在砂/泥岩剖面中能以明显的曲线异常变化显示出渗透性地层。通过测量自然电场沿井轴方向的电位变化反映岩性剖面的测井方法称为自然电位测井。自然电位测井具有方法简单、应用价值高等特点,是划分岩性,研究储集层性质,求取地层水电阻率、泥质含量、阳离子交换量和判断水淹层的有效方法之一[1-3]。

在进行自然电位测井时,将测量电极置于井筒内,测量其上的电位,并不断提升测量电极,可得到相应的自然电位曲线(SP曲线)[4-8]。自然电位测井在轴对称情形的数学模型及其理论基础与求解方法已在文献[9-10]中作了系统总结。然而,在地层的结构不具有轴对称性,或测量电极不处于井筒的中心位置时,就不能再使用轴对称模型,而必须考虑三维情形的自然电位测井问题。该问题的有效解决,对研究非轴对称情况的自然电位测井电极系的特性、电极系的优选及考察环境因素的影响规律和环境校正图版的制作,从而提升利用自然电位求取地层参数的精度具有重要的价值。

本文重点讨论三维自然电位测井的问题,提出相应的数学模型,并建立其理论与算法的基础。基于有限元素法的数值模拟表明,与常用的测量电极居中的轴对称模型相比,测量电极紧贴或靠近井壁的三维模型可以得到更接近于静自然电位的自然电位值,特别对薄目的层的情况是如此。

1 模型的建立

图1 地层剖面示意图

(1)

在Ωi中(i=1,…,5)

(2)

取地表面上Γ1部分的电位值为0,作为参考电位

u|Γ1=0

(3)

在井口、无穷远边界及电极的绝缘表面(记为Γ2)上均没有电流通过,因此其上的边界条件为

(4)

测量电极主要用来测量电极表面的电位值,而不发射电流。由于电极是良导体,其表面上的电位值应处处相等,为一个(待定)常数,于是在电极表面(记为Γ0)上应满足如下的等位面边界条件

u|Γ0=U(待定常数)

(5)

(6)

对于空间自然电位测井而言,电极Γ0不一定位于井筒的中心位置,也不一定要求其具有圆柱形的形状。

在不同子区域的交界面(记为γk,k=1,…,8)上,由电流的连续性,应满足如下的交界面条件

(7)

而由于不同介质的交界面上存在自然电位差,因而

(u+-u-)|γk=Ek(k=1,…,8)

(8)

式中,Ek为交界面γk(k=1,…,8)上的自然电位差,在应用中常设为常数,“+”和“-”分别表示函数在交界面两侧的值,而在交界面上的单位法向量n规定对两侧有同一取向。

至此,得到自然电位测井的数学模型(2)～(8),将其记为(SP)。

作变换

(9)

式中,u0为如下的分块常数函数

(10)

(u+-u-)|γk=Fk(k=1,…,8)

(11)

式中,

F1=F2=F3=F4=0

F5=E5-E1+E2

F6=E6+E2-E3

F7=E7-E1+E2+E4

F8=E8+E2-E3+E4

(12)

即在垂直交界面上不再存在自然电位差。显然,经变换后的问题比原问题简单,再回到原先的问题,就易见有如下结论,它会极大地减少制作相应测井解释图版的工作量。

定理1.1对任意给定的几何结构及地层电阻率,井筒Ω1及上围岩Ω2中的自然电位函数仅依赖于常数E1、E5-E1+E2、E6+E2-E3、E7-E1+E2+E4和E8+E2-E3+E4,而不是依赖于独立的8个常数Ek(k=1,…,8)。

可以考虑(而且在下面的讨论中也要用到)更为一般的情形,即交界面上的自然电位差Ek(k=1,…,8)可以不是常数,而是函数。假设Ek(k=1,…,8)是Hölder连续的,为保证交界面条件(8)与边界条件(4)的相容性,总假设

(13)

在今后对自然电位测井的求解中,只用到在

γ1∩γ2∩γ5,γ2∩γ3∩γ6,

γ4∩γ5∩γ7,γ4∩γ6∩γ8

(14)

附近Ek为一般函数,而其余处Ek仍为常数的情形,此时式(13)自然满足。

2 相容性条件与解的存在唯一性

为求解上述模型(SP),考虑等价的变分问题,为此先引进几个有关的函数集合。

对任意给定的p(1

Vp={v|v∈W1,p(Ωi)(i=1,…,5),

(v+-v-)|γk=Ek(k=1,…,8),

v|Γ1=0,v|Γ0=常数}

(15)

式中,W1,p(1

W1,p={v|v∈Lp,v∈Lp}

(16)

其上的范数定义为

(17)

这样,与模型(SP)等价的变分问题为:求u∈Vp,使得

(18)

式中,

(v+-v-)|γk=0(k=1,…,8),

v|Γ1=0,v|Γ0=常数}=

{v|v∈W1,p′(Ω),v|Γ1=0,v|Γ0=常数}

(19)

如果交界面上的自然电位差Ek(k=1,…,8)在各交界面的交会处(14)的代数和分别为0,即满足

(20)

则称交界面上的自然电位差满足相容性条件。此时,可在分块H1空间中求解上述问题(SP),并可用有限元素法求其数值解。

然而,交界面上的自然电位差通常并不满足相容性条件(20),此时整个电场中的电位函数具有一定的奇性,不再属于分块H1空间,从而不仅在理论分析上有本质上的困难,而且不能用有限元素法直接进行数值求解。

下面先考虑在一般情况下解应该隶属的空间,有关结论的证明可参见文献[15]。

(21)

此处及以后,C(p)均表示一个仅依赖于p的正常数。

(22)

即

(23)

式中,在Ωi中,σ=σi,f=(f1,f2,f3)=σiw(i=1,…,5)。显然,f∈(L2(Ω))3。

如果相容性条件(20)不满足,由引理2.1,V2=Ø,因而变分问题(18)不存在分块H1解。而由引理2.2,对任意给定的p(1

定理2.1存在ε0>0,对于任意给定的p(2-ε0

(24)

3 求解方法

如果相容性条件(20)成立,变分问题(18)存在唯一的分块H1解u∈V2,因此可以直接使用有限元素法进行数值计算。

如果相容性条件(20)不满足,由引理2.1,V2=Ø,因而变分问题(18)不存在分块H1解。而由定理2.1,存在ε0>0,对任意满足2-ε0

由于奇性的存在,此时不能直接使用有限元素法求解(18),需要采用一些方法除去这一奇性。本文采用过渡带法(又称为交界面条件相容化方法,参见文献[5,9-10])。

对充分小的ε>0,定义

(25)

式中,

(26)

而dk(k=1,3,7,8)和dk1,dk2(k=2,4,5,6)分别表示P到各交界面交会处(14)的最小距离

d1=d(P,γ1∩γ2∩γ5),

d3=d(P,γ2∩γ3∩γ6),

d7=d(P,γ4∩γ5∩γ7),

d8=d(P,γ4∩γ6∩γ8),

d21=d1,d22=d3,d41=d7,d42=d8,

d51=d1,d52=d7,d61=d3,d62=d8

定理3.1存在ε0>0,使对任意给定的p(2-ε0

(27)

从而,由线性迭加原理

(28)

所以,uε→u在W1,p(2-ε0

4 数值模拟

为了进行数值模拟[18],选取参数值:井筒半径0.101 6 m,侵入带半径0.65 m,电极半径0.045 m,电极高度0.054 m,所考虑区域的径向宽度50 m,纵向深度100 m,目的层的层厚分别取为4、0.3 m和0.06 m。各交界面γk(k=1,…,8)上的自然电位差分别为E1=10 mV,E2=20 mV,E3=10 mV,E4=0 mV,E5=130 mV,E6=130 mV,E7=100 mV,E8=100 mV,各地层介质的电阻率为ρ1:ρ2:ρ3:ρ4:ρ5=1∶10∶10∶50∶100。

图2 电极居中与电极靠近井壁时自然电位测井曲线的比较

4.1 电极靠近井壁与电极居中2种情况的比较

首先对电极靠近井壁与电极居中这2种测量电极放置方式进行数值模拟,并对相应的自然电位测井曲线进行比较。

(1) 测量电极靠近井壁,距井壁1～2 mm。此时,由于电极是偏心的,必须在三维空间中进行数值计算,采用过渡带法计算。

(2) 按照传统的测量方法将圆柱形电极居中。此时,电极的轴线与井轴线重合。由于地层和电极关于井轴都是对称的,可以利用轴对称问题时的结果[5-10]。

图2显示了对不同的目的层层厚,2种电极放置方式下自然电位测井曲线的相应数值模拟结果。这些结果表明,电极居中与电极靠近井壁时的自然电位测井曲线有一定的偏差,后者在目的层附近的异常特征较前者明显,而且层越薄,这种特点越明显。图2(c)显示,在层厚为0.06 m时,电极靠近井壁时的自然电位测井曲线的异常幅值约为电极居中时的3倍,这会在一定程度上提高对薄层的识别能力。因此,将电极靠近井壁进行测量,可以有效地改善对薄目的层的测井质量。

4.2 电极靠近井壁与电极紧贴井壁2种测量方式的数值比较

上面的数值结果告诉我们,对于薄层的情形,如果将测量电极靠近井壁进行测量,得到的自然电位测井曲线比电极居中时更加清楚直观,可以在一定程度上提高测井质量。值得注意的是,在电极的金属柱面紧贴井壁的情形,相应的数学模型必须要作适当的修改。这是因为,此时在电极与井壁之间的井筒泥浆不再存在,原先在这部分井筒泥浆与其他介质(侵入带或者上下围岩层)的交界面不再存在,从而在此处不会有自然电位的跳跃。因此,与电极靠近井壁(或居中)的情形不同,仅需考虑在电极金属表面Γ0上的等位面边界条件,而不必考虑相应的井筒泥浆与其他介质的交界面条件,这就需要适当地修改前面模型中井壁处的交界面条件。具体来说,应将电极表面Γ0与井壁紧贴的部分从交界面上剔除,而将交界面条件(7)～(8)写成

(29)

经这样的修改后,在电极紧贴井壁的情形仍可用前述的三维有限元方法来数值模拟求解,此处不再赘述。

图3 电极靠近井壁与电极紧贴井壁时自然电位测井曲线的比较

图3显示了对不同的目的层层厚,在2种电极放置方式下自然电位测井曲线的相应数值模拟结果。这些结果表明,电极紧贴井壁时的自然电位测井曲线在目的层附近异常幅度较为明显,与电极靠近井壁的情形相比较,对地层的分辨能力大大提高。当目的层较薄时,2条测井曲线的差异特别明显。

在工程中若采用电极紧贴井壁的方式进行测量,将显著提高对薄目的层的识别能力,大大改善测井质量。

5 结束语

本文建立了三维自然电位测井的完整的数学模型,分别给出了分块H1解和分块W1,p(1

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