串联模式下的应力-强度模型可靠度的非参数统计推断

祁辉

（三明学院 信息工程学院，福建 三明 365004）

串联模式下的应力-强度模型可靠度的非参数统计推断

祁辉

（三明学院 信息工程学院，福建 三明 365004）

应力－强度模型在工程学，医学等领域有着广泛的应用。对于变量非删失以及右删失的情形，研究了当随机应力和随机强度相互独立时的元串联系统应力－强度模型可靠度的非参数估计。近一步，建立了估计量的大样本性质．数值模拟表明所提出的方法表现良好。

应力－强度模型；经验分布函数；Kaplan－Meier估计量；右删失

在可靠性分析中,设系统中部件的随机强度为Y,随机应力为X,当部件强度Y大于应力X时,系统便正常工作。否则,系统便失效。概率R=P(X＜Y）称为系统应力-强度模型可靠度,它表示系统正常工作的概率。该模型在工程学,医学,心理学,经济学等各领域有着广泛的应用。例如:在工程学领域,应力-强度模型可靠度可以用来评估火箭发动机成功点火的概率[1];在医学领域,Bamber[2]结合ROC曲线将模型应用于疾病的诊断;此外,Embrechts等[3]将应力-强度模型应用于投资组合再保险的估计。 由于应力-强度模型应用的广泛性,模型可靠度的统计推断受到了研究者的关注。Rezaei[4]研究了随机变量X和Y独立地服从不同参数Pareto分布时的估计问题。Ghitany等[5]研究了应力和强度相互独立并服从Power Lindley分布时的估计。Qi等[6]提出了在变量右删失情形下应力-强度模型可靠度的非参数估计方法。 关于应力-强度模型可靠度的统计推断和应用的详细介绍,可参考Kotz等[7]。

以上研究主要考虑由单个部件构成的系统应力-强度模型可靠度的估计。Bhattachary和Johnso[8]研究了多部件系统应力-强度模型。Chandra和Owen[9]讨论了正态和指数分布情形下,部件随机强度分别为Y1,Y2，…，Yk的串联系统在受到共同应力X时,应力-强度模型可靠度的极大似然估计和一致最小无偏估计,其中变量之间是相互独立的。苏国钦[10-11]分别讨论了独立的应力变量和强度变量分别服从正态分布和韦布尔分布以及正态分布和正态分布两种情形下,串联系统应力-强度模型P（X＜Y1，…，X＜Yk）的最小无偏估计。王炳兴[12]提出了应力变量和强度变量相互独立并均服从指数分布的串联模式下的应力-强度模型可靠度的广义区间估计。

上述文献主要研究了相互独立的应力变量和强度变量在分布已知的情形下,串联模式下应力-强度模型可靠度的估计。 但是在一般的情形下变量的分布通常是未知。因此,针对串联系统应力—强度模型,本文提出了模型可靠度的非参数估计方法。首先考虑了当应力变量和强度变量相互独立时，基于经验分布的两个部件串联系统应力-强度模型可靠度的非参数估计。 并将该方法推广到k个部件串联系统应力-强度模型可靠度的估计。Qi等[6]所述,当试验中途停止等原因导致的样本数据右删失的情形,在样本数据右删失的情形下,提出了基于Kaplan-Meier估计的两个部件串联系统应力—强度模型可靠度的非参数估计方法。类似地,该方法可以推广到个部件串联系统在样本数据右删失情形下模型可靠度的估计。

1 完备观测下的模型可靠度的估计

假定Y和Z分别表示串联系统两个部件的随机强度,X表示系统随机应力。假定变量X,Y,Z相互独立,则系统应力-强度模型可靠度可表示为:

其中GX（t）=P（X＞t）为生存函数,GY（t），GZ（t）也类似的定义。

在样本（Xi，Yi，Zi）下,可分别用:I（Zi＞t）,来分别估计 GX（t）,GY（t）,GZ（t）。 从而,可得R2的估计:

该方法可以推广到当应力变量和强度变量相互独立时，k个部件构成的串联系统在随机应力X下的应力-强度模型可靠度的估计:

其中变量之间是相互独立的,G'Yj（·）为串联系统第j个部件的随机强度Yj生存函数的估计量。

2 删失数据下的模型可靠度的估计

考虑到由两个部件构成的串联结构系统应力-强度模型。 在应力变量X以及强度变量Y和Z相互独立并分别被随机变量C,L,M右删失的情形下,生存函数GX（t）,GY（t）,GZ（t）的Kaplan-Meier估计量如下：

其中变量：T=min（X,C），Δ=I（X≤C；K=min（X,L），Q=I（Y≤L)；D=min（Z,M），S=I（Z≤M)。

将上述Kaplan-Meier估计量代入(1)式,则右删失情形下模型可靠度的估计:

同上所述,该方法也可以推广到右删失样本下,应力变量和强度变量相互独立时k个部件构成的串联系统在随机应力下模型可靠度的估计:

3 大样本性质的证明

为了研究上述估计量的大样本性质，通过参考作者Qi等[6]中的条件C1～C9,有定理1。

定理1 在条件C1～C9下,当样本容量n→+∞时,估计量n1/2{R''2-R2}弱收敛到正态分布N（0，σ12）。

证明的过程可参考作者Qi等[6]，故略。

由于完备观测下的样本数据是在样本右删失情形下删失率为零的特殊情形。因此,由定理1,可得如下的定理2。

定理2在条件C1,C3,C4,C6,C7,C9下,当样本容量n→+∞时,估计量n1/2{R'2-R2}弱收敛到正态分布 N（0，σ22）。

类似地,对于k元串联系统应力-强度模型,定理1和定理2的渐近性质可推广到可靠度的估计量R'k和R''k。

4 数值模拟

在本节中,主要通过数值模拟来考察所提出的估计量在有限样本下的表现。对于二元串联系统应力-强度模型,假定相互独立的应力变量X以及强度变量Y和Z分别服从 (λ1=λ2=λ3=1),(λ1=0.5，λ2=1，λ3=2),(λ1=2，λ2=1，λ3=0.5),(λ1=1，λ2=2，λ3=0.5)的指数分布,通过从指数总体中抽取容量n为50到400大小不等的样本,计算估计量R2和R2在不同样本下的如下统计指标：估计量的估计(Est)、估计量的标准差(SD)和标准差的估计值(SE)以及 95%置信区间覆盖率(CP)。 其中右删失变量C,L,M均由参数λ=1指数分布生成。基于500次模拟的结果见表1～4。

由表1的随机模拟结果可知,当指数总体分布中的参数λ1=λ2=λ3时,估计量R'2和R''2在不同样本下的各项统计指标均有良好的表现,即使在样本n=50较小的情形下。 此外,所提出在非删失及右删失情形下的估计量R'2和R''2在样本量n相同时,随机模拟的各项结果较接近。

表1 当λ1=λ2=λ3，R2=1/3时,R'2和R''2的随机模拟结果

在指数总体分布中的参数λ1＜λ2＜λ3情形下,估计量R'2和R''2的随机模拟结果由表2给出。从表2中也可以看出,即使在样本较小的情形下,估计量和在不同样本下的各项统计指标均表现较好,类似的,所提出在非删失及右删失情形下的估计量R'2和R''2在样本量n相同时,随机模拟的各项统计指标较接近。

表2 当λ1=0.5,λ2=1,λ3=2时,R2=0.143，R'2和R''2的随机模拟结果

类似的,由表3的随机模拟结果可知,在指数总体分布中的参数λ1＞λ2＞λ3情形下,估计量R'2和R''2表现良好。

表3 当λ1=2,λ2=1,λ3=0.5时,R2=0.571，R'2和R''2的随机模拟结果

此外,由表4的随机模拟结果可知,在指数总体分布中的参数λ1＜λ2，λ2＞λ3以及情形下,估计量R'2和R''2仍表现良好。

表4 当λ1=1,λ2=2,λ3=0.5时,R2=0.286，R'2和R''2的随机模拟结果

5 结论

对于k串联结构系统应力-强度模型,考虑了在样本非删失和右删失两种情形下模型可靠度的估计,并建立了估计量的大样本性质。 对于二元串联结构系统应力-强度模型可靠度的估计量R'2和R''2,随机模拟结果显示上述估计量具有良好的性质。此外,上述方法也可以推广到对k元并联结构系统应力-强度模型可靠度的估计。

参考文献：

［1］NADARAJAH S．Reliabilityforsomebivariate gamma distributions［J］．Mathematical Problems in Engineering，2005（2）：101－111．

［2］BAMBER D．The area above the ordinal dominance graph and the area below the receiver operating characteristic graph［J］．Journal of Mathematical Psychology，1975，12（4）：387－415．

［3］EMBRECHTS P，KLUPPELBERG C，MIKOSCH T．Modelling extremal events for insurance and finance［M］．Berlin：Springer，1997．

［4］REZAEI S，TAHMASBI R，MAHMOODI M．Estimation of for generalized Pareto distribution［J］．Journal of Statistical Planning and Inference，2012，140（2）：480－494．

［5］GHITANY M E，ALMUTAIRI D K，ABOUKHAMSEEN S M．Estimation of the reliability of a stress－strength system from power lindley distributions［J］．Communications in Statistics－Simulation and Computation，2015，44（1）：118－136．

［6］QI H，QI F，YU J C．Nonparametric inference for the stress－strength model under right censoring［J］．Wuhan University Journal of Natural Sciences，2015，25（3）：202－206．

［7］KOTZ S，LUMELSKII Y，PENSKY M．The stress－strength model and its generalizations：theory and applications［M］. Singapore：World Scientific，2003．

［8］BHATTACHARY G K，JOHNSO R A．Estimation of reliability in a multicomponent stress－strength model［J］．Journal of the American Statistical Association，1974，69（348）：966－970．

［9］CHANDRA S，OWEN D B．On estimating the reliability of a component subject to several different stresses（strengths）［J］．Naval Research Logistics Quarterly，1975，22（1）：31－39．

［10］苏国钦．正态—韦布模式下结构串联系统可靠性的MVU估计［J］．福建师范大学学报（自然科学版），1986，2（4）：17－26．

［11］苏国钦．正态—正态模式下结构串联系统可靠性的MVU估计［J］．福建师范大学学报（自然科学版），1987，3（3）：14－23．

［12］王炳兴．指数分布场合系统应力强度模型可靠度的统计推断［J］．高校应用数学学报，2012，27（3）：265－273．

(责任编辑：朱联九）

Nonparametric Inference for Reliability of a Series Stress-strength Structure Model

QI Hui
(Institute of Information Engineering,Sanming University,Sanming 365004，China)

The stress-strength model has a wide range of applications in engineering,medicine and other fields.Considering the variable non-censoring and right censoring,a nonparametric estimation for the stress-strength model reliability of series system is studied when the random stress and strengths are independent of each other.Furthermore,large sample character of the proposed estimator is established in this paper.Numerical simulation shows that the proposed method performs well in finite samples.

stress-strength model;empirical distribution function;Kaplan-Meier estimator;right censoring

O213.2

A

1673-4343（2017）02-0001-05

10．14098／j．cn35－1288／z．2017．02．001

2016-11-16

国家自然科学基金项目（11401341）；福建省自然科学基金项目(2015J05014,2016J01681)；福建省教育厅项目（JK2014046，JA15476，JAT160468，JA160474）；三明学院校级科研项目（B201617）

祁辉，男，湖北随州人，讲师。主要研究方向：生存分析与可靠性。