多周期多品种应急物资配送多目标优化模型

冯 春，向 阳，薛 坤，冯润森

(1.西南交通大学交通运输与物流学院，四川 成都 610031;2.中国科技技术大学少年班学院，安徽 合肥 230026)



多周期多品种应急物资配送多目标优化模型

冯 春1，向 阳1，薛 坤1，冯润森2

(1.西南交通大学交通运输与物流学院，四川 成都 610031;2.中国科技技术大学少年班学院，安徽 合肥 230026)

为了兼顾应急物资配送的效率与公平，在考虑应急物资分类与分批配送的基础上，建立了效率目标与公平目标相结合的多周期应急物资分批配送模型。效率目标计算了规划周期内所有车辆的运输成本，公平目标通过各周期惩罚成本最小化实现物资在受灾点间的均衡分配。设计了针对多目标优化模型求解Pareto解集的计算方法，通过算例验证了求解方法的可行性。结果表明：通过观察Pareto前沿，追求物资的分配公平会增加救援车辆的出车次数和配送批次，考虑运输成本时车辆会采用集中配送策略。

多目标模型；效率；公平；应急物资配送；惩罚成本

1 引言

大规模灾难发生后，有效降低灾民伤亡数目与经济损失的关键在于把来自灾区外部的应急物资及时、准确、公平的配送到灾民手中。在灾后应急物资调度的过程中，从配送中心到各受灾点的局部配送是应急物流的最后一个环节，面临着救援资源短缺(时间、物资供应量、人力、运输车辆以及通信与基础设施等)、物资配送过程中的高风险(灾情的扩大化或人员伤亡)以及物资配送的公平性等约束条件，这些都有可能成为阻碍应急物流高效运作的瓶颈，进而影响灾难救援运作[1]。

从福利经济学的角度来看，地震等灾难的突发性与强烈破坏性严重扰乱了当地正常的市场交易，人们的福利不仅受到市场交易内化因素(买卖双方的盈余之和)的影响，也会因地震等外部事件的干扰而产生额外的剥夺成本[2]，即灾民由于未能及时获得应急物资援助或服务而带来苦难的经济评估[3]。Holguin-Veras等[3]对剥夺成本进行了系统的总结和分类，他们认为人道主义的运作活动必须考虑剥夺成本。当灾难发生时，灾区的应急物资需求量爆发式增长，来自灾区外部的物资难以短时间全部满足所有需求，灾民因为缺乏应急物资救助而导致剥夺成本大于一定界限时，灾民的生命就会消逝。应急物资配送的公平目标强调为所有的受灾点提供同等水平的服务，能够在尽可能相同的时间内为所有的受灾点提供一定比例的首批应急物资，因而能够有效降低灾民的剥夺成本，避免部分受灾点因大量物资的同时到达造成积压而其他受灾点却由于物资的长期缺乏而出现灾情扩大的局面[4]。

效率与公平是灾难救援中并存的两个重要却彼此冲突的目标。救援物资的快速配送通常会带来物资分配的不准确，运输成本最小的配送方案则会导致各受灾点间物资分配的不公平。灾难发生后，救援资金的预算通常是有限的，运作成本是影响应急物资配送的重要因素。国内外大部分应急物资配送的研究是以应急物资运输成本的最小化作为应急物资配送的效率目标[5-6]。然而，在灾难救援中，最高效的运作方案却不一定是最公平的。这是因为需求的未满足比例和配送时间的延迟都会造成救援中的不公平现象，从而导致社会成本的增加。但是在灾难发生后，灾民应该享有平等的救援权利，应急物资的分配应该坚持公平、公正的原则，灾民不应享有物资分配的特权或被区别对待。一般情况下，应急物资分配的公平目标旨在实现所有灾民获得平等的服务，主要可以从两个方面进行度量：(1)物资的需求满足比例(如：最小物资需求满足比例的最大化[7]，最大最小需求未满足比例差值的最小化[8]，基于需求未满足比例的惩罚成本之和的最小化[3]等)；(2)物资配送的时间延迟(最后达到时间的最小化以及总到达时间的最小化[9]，车辆路径旅行时间的最小化[10])。为了均衡灾难救援运作对运输成本最小化与物资分配公平性的要求，有必要在对灾难救援运作环境做出合理假设的基础上建立效率与公平相结合的多目标应急物资配送模型，并分析影响物资配送与路径决策的影响因素[11-12]。

由于应急物资配送过程中所产生的社会成本与需求满足比例和物资到达时间相关，为了保证应急配送过程中的公平性，有学者建立了分批配送的模型，保证尽可能多的灾民能够在最短的时间内获得必要的救援物资[10]。本文认为，分批配送符合应急物资调度的实际，但单周期的分批配送没有考虑部分救援物资需求的周期性和优先级问题。大量低优先级物资以及存在周期性需求的物资集中供应可能造成“物料汇集”(Material Convergence)问题导致的运输压力和道路拥堵[13]。通过对上述文献的研究发现，在应急物资分类的研究方面，大多数文献考虑的是单周期下应急物资的配送，而没有考虑多周期下配送不同种类的应急物资对灾民公平性的影响。应急物资的公平分配应当保证各个受灾点在灾难发生初期拥有平等获得应急物资的权利，尤其是各受灾点首批物资需求的满足。因此，本文基于分批配送策略的思想，在考虑物资分类的条件下，建立了应急物资的多周期循环配送模型。

2 问题描述与基本假设

2.1 问题描述

灾难发生后，配送中心大多以方便响应不同地区的受灾点来设置的。因此，不同配送中心之间的关联并不紧密。本文所考虑的应急物资配送问题涉及到由一个配送中心到若干个受灾点的车辆路径调度过程，如图2所示。

假设存在一个对称的完备图G=(N0,A)，点集N0包括了配送中心(i=0)以及受灾点集合N(i∈N,i=1,…,N)，A表示边的集合。本文研究的问题可以被描述为：为满足若干个受灾点的物资需求而配置可用的车辆，从可行的路径集合R中选择合适的路径r(r∈R,r=1,…,R)，使车辆有序的通过各受灾点，在满足一定的约束条件(如物资需求量、供应量、车辆容量限制、行驶时间限制等)下实现对所有受灾点的服务并实现指定的目标(如运输成本最少、时间尽量少、使用车辆尽量少等)。

2.2 问题基本假设

考虑灾难救援运作的实际情景，对应急物资配送问题做出的基本假设如下：

(1)灾难发生后灾民对应急物资种类的需求是多种多样的，根据需求特征的差异可以将这些应急物资分为两大类：

A类物资(一次性需求)：灾难发生后，很快出现巨大需求的重要救援物资(如帐篷、棉被等)。受物资供应短缺以及可用车辆数稀少的影响，A类物资的需求在短期内难以完全满足。因此，A类物资到达受灾点后会被完全分配到灾民手中。针对A类物资的需求特征，一般用累积的物资需求未满足率计算其各周期的惩罚成本值，而且随着时间的增加，如果需求一直未得到满足，则惩罚成本系数会逐渐增大。

图2 应急物资分批配送问题

B类物资(周期性需求)：需求在救援运作中周期性产生并被定期规律性消费的救援物资(如食品、卫生用品等)。若在某一周期内(如一天)B类物资的需求没有得到完全满足，则会产生由需求未满足率对应的惩罚成本值，而未被满足的需求不会累积到下一个周期。反之，受灾点对多余的B类物资则可以进行储存并供给下一个周期利用。由于B类物资的库存持有成本远远小于当B类物资缺乏时带来的惩罚成本，模型中B类物资的库存持有成本可以忽略不计。

由于周期性需求在单个周期的需求量比较固定，需求的紧迫性较高，一旦在当周期未被满足，所产生的损失成本无法通过后续的配送进行弥补，因此周期性需求物资一般配送的优先级较高，而一次性需求的配送优先级较低。

(1)假设配送中心的救援车队由固定数量的相同车辆组成并且所有的车辆均可以同时装载A类与B类物资。

(2)以一天为周期(24h)对应急物资配送的车辆路径进行调度并假设一天中车辆的最大运行时间为18h(0.75天)。

(3)各受灾点对A、 B两类物资的需求量已知，但配送中心对A、B两类物资的供应量则分周期予以确定。

(4)配送中心与各受灾点之间互相连通。

3 应急物资配送多目标模型

3.1 符号说明

应急物资配送多目标建模中采用的数学符号说明如下：

(1)集合参数

T:规划周期集合，用天数表示；

K:可用车辆数集合，即配送中心拥有的车队规模；

R:可用的路径集合；

N:受灾点集合；

Nr:路径r(r∈R)中顺序访问的受灾点排列集合；

E:应急物资种类集合;

(2)路径参数

cr:路径r(r∈R)的运输成本，可根据道路情况事先确定；

q:车辆最大载重量；

Tr:路径r(r∈R)的占用时间，在文中用路径r的旅行时间与周期(24h)之比来表示；

(3)需求参数

(4)路径决策变量

(5)配送决策变量

3.2 模型建立

(1)目标函数：

(1)

(2)

(2)约束条件：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

∀i∈N,t={2…T}

(12)

式(1)是模型的运输成本目标函数，计算了规划周期内所有车辆路径的旅行成本之和，表示模型的效率目标；式(2)是模型的惩罚成本目标函数，计算了规划周期内由A、B两类物资的需求未满足而产生的惩罚成本之和，表示模型的公平目标。

约束条件中，式(3)表示每个周期内车辆的旅行时间限制。式(4)说明受灾点接收的A类应急物资的托盘数要严格等于其需求量。式(5)表示每个周期对A、B两类物资的配送量不得超过其供应量。式(6)表示单周期内路径车辆的最大装载量限制。式(7)表明只有当路径r包含节点i，资源才能通过该条路径配送到节点i。式(8)和(9)分别计算了每个周期内各受灾点A、B两类应急物资的需求未满足比例。式(10)计算了每个周期内A、B两类物资的惩罚成本值。式(11)表明所有受灾点关于B类物资初始库存量为0。式(12)计算了从第2个周期到最后一个周期所有受灾点关于B类物资的库存量。

4 模型求解与分析

工程实际中的许多优化问题是多目标的优化设计问题，通常情况下多个目标处于冲突状态[14-15]。在救援物资配送模型中，成本目标和公平目标就处于此消彼长的状态。对于多目标问题的求解，传统的方法是通过加权将其转化为单目标优化问题求解[16-18]，但是有研究表明原问题的解和转换后问题的解并不是简单的一一对应关系[19]，因此如何确定权重仍然是一个待解决的问题[20]。除了多目标问题Pareto解集的求解，本文模型求解的另一个难点还有如何确定可行路径集合。

4.1 求解方法与步骤

上述模型属于多目标的混合整数线性规划模型，模型中的成本和公平两个目标是相互冲突的，所以不存在使二者同时达到最小的唯一解，而是一组解，即Pareto解集，为了寻得该问题有效的Pareto解，针对上述模型的特点，本文设计了将多目标问题转化为求解多次单目标优化问题的方法。基本思想是基于1971年Haimes等[21]提出的ε-约束方法，依次轮流将目标转化为约束条件，构造出一系列的单目标优化问题，从而求得该模型的Pareto解集。模型的求解步骤分为两个阶段，如图3所示。

第一阶段，产生可行的路径集合。在单个周期内，一辆车对多个受灾节点进行配送时，选择在这几个节点之间巡回时间最短的路径。本文基于广度优先搜索和分支定界原理提出一个可行路径集合的构造方法，搜索深度表示路径中的节点数。步骤如下：

第一步：令初始搜索深度为d=0，初始路径集合仅包含一条路径，该路径仅包含配送中心一个节点；

第二步：令d=d+1，选择一条路径集合中节点数为d的路径r，路径r和不属于r的N-d个节点可构造出N-d种节点组合。按此方法遍历路径集合中所有节点数为d的路径。

第三步：根据节约里程法计算节点数为d+1的节点组合的最短路径。如果路径的旅行时间小于等于车辆的最大旅行时间，就加入可行路径集合，形成新的分支；否则舍弃该路径，并剪掉该路径所在的分支。

第四步：如果搜索树存在可行的分支，且d+1

图3 两阶段模型求解方法：输入与输出

第二阶段，将多目标的整数规划模型(MILP)转化为单目标模型进行求解，决定每个周期配送路径的选择以及受灾点获得A、B两类物资的数量。

第一步：分别以目标1和目标2为目标构造单目标优化问题，求出两个目标函数的值域。

第二步：令b等于目标1的最小目标函数值，然后将Z1≤b作为约束，构造关于目标2的单目标优化问题。若问题有可行解，则求得目标2的最优值Z2*，转到第三步；若无可行解，则转到第四步。

第三步：将Z2≤Z2*作为约束，构造关于目标1的单目标优化问题。若问题有可行解，求得目标1的最优值Z1*，将此时得到的解计入Pareto解集；若无可行解，直接转到第四步。

第四步：以固定步长t，令b=b+t，转到第二步继续求解。

第五步：当b大于目标1的最大函数值时，算法停止。

4.2 数值算例与分析

本算例设计了由一个配送中心与5个受灾点组成的应急物资配送问题。配送网络中配送中心(i=0)与各受灾点(i=1,2,3,4,5)之间的旅行时间(单位：天)和运输成本如图4所示；每个周期可利用的车辆数为2；每辆车的最大载重量为50吨；规划周期内各受灾点对A、B两类物资的需求情况与各周期对A、B类物资的供应量分别如表1和表2所示；因A、B两类物资的需求未满足而产生的惩罚成本系数如表3所示。

表1 各受灾点对A、B两类物资的需求量

表2 各周期A、B两类物资的供应量单位：吨

表3 惩罚成本系数

本文模型的求解借助了GAMS建模软件，采用GAMS内置的分支定界方法可以有效地求解较大规模的整数规划问题。根据第一阶段的求解方法，得到该算例中的可行路径共有23条，以及路径的旅行时间和路径成本如表4所示。

图4 单配送中心五受灾点应急物资配送网络结构图

路径旅行时间配送成本路径旅行时间配送成本R10．36R130．417R20．22R140．619R30．36R150．455R40．23R160．746R50．34R170．637R60．554R180．729R70．547R190．658R80．437R200．712R90．577R210．617R100．55R220．658R110．44R230．7213R120．456

图5 模型的Pareto最优解集

根据上述算法及参数设置对本文的模型进行求解。由第二阶段算法的第一步可以得出，模型的两个目标取值范围分别是：目标一为[30,72]，目标二为[28.41,186.93]。然后以目标一作为约束条件，每一次约束上限的改变值t=1，经过一系列的单目标问题求解之后，得到该问题的一个Pareto解集如图5所示，横坐标表示成本目标的取值，纵坐标表示公平目标的取值，每一个点均代表一个满足Pareto最优的配送方案，Pareto解集为决策者提供了一系列非劣决策作为备选的方案，决策者可以根据实际的条件和需求来权衡多个目标，从而选择合适的方案。下面以两个方案来具体说明。

图5中的方案一表示整个决策集合中最公平的配送方案，此时两个目标的目标函数值分别为(68,28.45)，公平目标达到最大化。具体配送方案如图6(a)所示。一般情况下，在应急救援的过程中，资源都是相对紧缺的，尤其是在规划周期的前期，因此需要适当地控制物流成本，决策者需要根据实际情况在可选决策中选择进行选择。最理想的情况是充分利用有限的资源，同时使救灾的惩罚成本降到最低。比如，当决策者根据实际情况，希望将物流成本控制在45左右，则应该选择图5中方案二对应的策略，对应的配送方案如图6(b)所示，此时模型的两个目标函数值分别为(45,93.56)，可见该方案实际上是通过牺牲一定的公平性，从而达到了降低配送成本的目标。

表5对比了两种配送方案的对各个受灾节点不同类型需求的满足情况，可以看出：方案一为了最大限度地追求公平，多数周期内车辆都会选择更多的路径来进行配送，即通过增加出车次数，从而增加每个节点配送的批次，来保证配送的公平性。B类物资每个周期需求满足率的差异达到了最小化，而A类物资的配送则是在保证了B类物资每个周期都及时供应的情况下尽可能早地完全满足。这说明该方案能够在运力有限地情况下，优先满足高优先级物资需求，实现了高优先级物资的公平。

图6 最公平的配送方案与公平与效率折中的配送方案

周期A类物资B类物资各受灾点配送量各受灾点累积需求满足率总需求满足率各受灾点配送量各受灾点需求满足率总需求满足率方案一1(30，35，35，0，20)(0．38，0．58，0．50，0，0．22)0．35(15，20，15，10，20)(0．6，1，1，1，1)0．892(25，25，30，40，30)(0．69，1，0．93，1，0．56)0．79(25，20，15，10，20)(1，1，1，1，1)13(25，0，5，0，0)(1，1，1，1，0．89)0．97(25，20，15，10，20)(1，1，1，1，1)14(0，0，0，0，10)(1，1，1，1，1)1．00(25，20，15，10，20)(1，1，1，1，1)1方案二1(25，20，35，40，0)(0．31，0．33，0．5，1，0)0．35(25，20，15，10，0)(1，1，1，1，0)0．782(0，30，35，0，70)(0．31，0．83，1，1，0．78)0．75(0，20，15，10，20)(0，1，1，1，1)0．723(50，10，0，0，20)(0．94，1，1，1，1)0．99(0，20，0，10，20)(0，1，0，1，1)0．564(5，0，0，0，0)(1，1，1，1，1)1．00(25，20，0，0，0)(1，1，0，0，0)0．5

方案二的配送成本有所降低，但其代价是损失了配送的公平性目标，从表5可以看出，方案二与方案一相比，各受灾点周期性需求的总需求满足率有所降低，且各受灾点之间需求满足率的差异较大。通过观察图6(b)可以发现，配送方案的成本降低实际上是通过减少发车次数，提高配送的集中程度来实现的，但是集中配送的缺点就是会导致大量非优先级物资提前配送，而高优先级物资则错过最佳的配送时机，从而导致周期性需求的满足率有所下降。这反映了多周期分批配送策略对提高应急物资配送中的公平分配是有效的。

5 结语

本文在考虑应急物资分类与供应可变的情况下，对灾难救援运作情景进行了合理的假设，建立了效率目标与公平目标相结合的多周期多品类应急物资循环配送的整数规划模型。模型考虑了应急物资运输成本最小化和公平分配双目标，为了保证各灾区首批物质最先获得的公平目标，模型将整个救援周期划分为多个短需求周期，并对每个周期的需求采取分配配送的策略，将各受灾点较大的总体需求量划分为多个周期内较小的需求量，并且采取多车辆循环配送的策略以实现分批配送，保证每个周期内都有尽可能多的受灾点需求得到满足，尤其是能够在最短的时间内获得首批关键性的救援物资。另外，模型构建的循环配送能够充分利用车辆的运输能力，保证运力的充分利用，实现应急救援的效率目标。

本模型的创新性在于将分批配送策略与多周期配送模型相结合，同时考虑了应急物资配送的优先级问题。多周期配送从时间上天然的将配送任务分批次进行，同时通过多车辆循环配送来实现单个周期的分批配送，保证了每个周期内尽可能多的受灾点能够获得救援物资，保证分配的公平性。按周期安排配送任务还能够避免大量低优先级物资集中供应造成的物料汇集所导致的运输压力和道路拥堵问题，特别是防止由于物流通道受阻造成的物资供应延误带来的二次灾难。

本文构建了两阶段模型求解算法，通过算例分析了不同成本约束和公平分配下的应急物资分配策略，给出了在物资供应和运力有限的情况下提高分配决策和公平性的有效方法，同时提出了首批物资最先到达的公平原则下应急物资分配目标函数与求解算法，结论表明追求物资的分配公平会增加救援车辆的出车次数和配送批次，考虑运输成本时车辆会采用集中配送策略。

车辆路径是典型的NP难问题，精确算法难以实现对包含大量受灾点的应急物资配送问题进行求解，针对本文提出的应急物资配送多目标优化模型第一阶段的求解受到问题规模的限制，因此为第一阶段的求解设计高效的求解方法是进一步的研究方向。

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Multi-objective Optimization Model of the Mmergency LogisticsDistribution with Multicycle and Multi-item

FENG Chun1，XIANG Yang1，XUE Kun1，FENG Run-sen2

(1.School of Transportation and Logistics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China;(2.School of the Gifted Young, University of Science and Technology of China, Hefei 230026,China)

In emergency management and related fields, it’s still a challenging research subject that how to respond post-disaster emergency requirements quickly to reduce losses of disaster through the efficient emergency logistics system. Based on principle of Humanitarian relief, the distribution and delivery strategies of post-disaster emergency logistics need to ensure both the maximization of the number of benefited victims and equal opportunity for every victim to be rescued. Otherwise, the result of inequity rescues will produce certain social costs. Depending on differences between characteristics of post-disaster supplies, demand can be divided into one-time demand and cyclical demand, which have different requirements for distribution strategies. In this paper， a multicycle and multi-item batch distribution model of emergency supplies is built to combine the efficiency target and the equity target, based on considering classification of emergency materials and uncertainty of supplies, in order to give consideration to both the minimization of emergency materials’ distribution costs and the maximization of the equity target. The efficiency target achieves effective use of relief supplies by minimizing distribution costs which are produced in the material distribution part in the planning cycle; the equity target minimizes social costs which are produced by unsatisfied demands in the planning cycle, for achieving equilibrium assignment of supplies between affected nodes. Besides, two-phase algorithm is designed to solve the Pareto disaggregation of multi-objective optimization model. The first step is the search of feasible path set，according to the vehicle capacity constraints and single-cycle travel time constraints.In the second step，based on the theory of ε-constraint optimization method， multi-objective optimization problem is converted into a series of single-objective optimization problem，and the optimal solution for each single-objective optimization problem is seemed, thereby obtaining the Pareto disaggregation of the model. At last, the rationality of the model and the feasibility of the solution are verified through designing reasonable examples and solving. The results indicate that the cycle distribution strategy to achieve batch distribution can (1) ensure that all affected nodes could receive the first batch of key relief supplies in a short time;(2) reduce social costs arising from allocation inequality and distribution delays;(3) improve the equity of the distribution and allocation of emergency supplies. In addition, calculating the Pareto front for policy-makers can provide a variety of decision-making schemes, and help decision makers intuitively understand the relationship between the efficiency target and the equity target, thereby developing effective distribution strategies according to the specific circumstances.

multi-objective model; efficiency; fairness; the distribution of emergency supplies; punishment cost

2015-10-04；

2016-10-24

国家社会科学基金项目一般项目(12BGL053)

向阳(1990-)，男(汉族)，四川广元人，西南交通大学交通运输与物流学院，硕士研究生，研究方向：人道救援物流与应急管理、复杂网络与最优化方法，E-mail：xyiooto@gmail.com.

1003-207(2017)04-0124-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.04.015

O221.6

A