单生产商-多客户供应链提前订货行为的研究

李群霞，马风才, 张 群

(北京科技大学东凌经济管理学院，北京 100083)



单生产商-多客户供应链提前订货行为的研究

李群霞，马风才, 张 群

(北京科技大学东凌经济管理学院，北京 100083)

本文假设允许所有客户可以提前订货以及允许所有客户存在缺货现象，建立了由单一生产商和多个客户组成的两级供应链提前订货库存管理模型，并提出了一种联合库存优化的方法，保证两级供应链含有最小库存成本的基础上，存在最优的重订货点、最优的生产时间间隔和最优的订货次数。最后使用仿真分析方法分析订货提前期对最优重订货点的影响以及重订货点对供应链库存成本的影响。

供应链库存; 单生产商多客户;提前订货; 缺货

1 引言

供应链库存管理是指将各个成员的库存管理置于供应链之中，以降低库存成本和提高企业市场反应能力为目的。因此供应链库存管理的特点需要各个成员服从联合决策，通过对供应链上的库存进行计划、组织、控制和协调，将各阶段库存控制在最小限度，从而削减库存管理成本，减少资源闲置与浪费，使供应链上的整体库存成本降至最低。

Goyal[1]是第一个研究批量订货模型的人。Shinn等[2]进行了扩展，货运费中考虑了数量折扣机制。Palsule-Desai[3]在供应链库存协调中研究收入分享合作机制。Hill[4]、Zhou Yongwu和Wang Shengdong[5]和Sarmah等[6]在供应链管理模型中研究了最佳运输策略问题。Hwang和Shinn[7]假设付款可以延迟条件下，为零售商建立了最优订货价格和订货次数策略。Zhao Xiande等[8]在供应链库存管理中研究早期订货承诺机制。Arkan和Hejazi[9]分析了信用期问题。李群霞和张群[10]研究缺货和缺陷品对库存成本的影响。Yang和Wee[11]建立了由生产商、渠道商和零售商构成的三层供应链。Pan等[12]在供应链库存模型中研究提前期、订货量和重订货点的优化问题。

也有一些学者对提前订货和允许缺货的供应链库存优化管理进行了研究。李怡娜等[13]等考虑了允许部分缺货后补的情形，建立了可控提前期的供应链库存优化模型。孙衍林[14]研究缺货和提前期可变条件下的单制造商-单销售商供应链的生产库存联合优化问题。桂华明[15]假设补货提前期可以通过增加费用进行压缩以及部分缺货可以补充，对一个供应商与一个零售商组成的供应链库存进行研究。Sajadieh等[16]假设供应链只存在一个生产商和一个客户，并且假设客户订货提前期服从负指数分布。针对客户的提前订货行为，建立了基于提前期的客户库存成本函数。针对生产商的生产行为，生产商按照“最迟开始生产”的生产策略生产产品，即生产商可延长一段时间再开始生产产品，从而建立生产商的库存成本函数，最终将客户的库存成本函数和生产商的库存成本函数纳入到供应链库存决策中，在此基础上，分析提前期对整个供应链库存成本的影响。

本文在Sajadieh等[16]的论文基础上，对供应链库存问题进一步深化，假设供应链含有一个生产商和多个客户，允许所有客户都存在缺货现象和提前订货现象，在多客户和缺货条件下，研究订货提前期对各成员、特别是客户的库存成本和库存优化决策的影响。

2 供应链库存描述

文中所涉及的变量及含义如表1所示，下面变量中下标“m”表示生产商，下标“b”表示客户，下标“bi”表示第i个客户。

表1 变量及其含义

本文将研究多个客户和一个生产商组成的两级供应链库存管理系统。为了不让生产商存在缺货问题，对生产策略进行了简化，生产商采用“最早开始生产”策略的方法生产产品，即在供应链周期一开始就开始生产产品，并且要求供需比k=Pm/Db>1，从而保证在整个供应链周期Tm1内生产商即使对所有客户补货后也不会出现缺货现象。图1只给出三个客户和一个生产商的库存变化水平。当客户的库存水平为rbi，客户开始向生产商订货，因此rbi为重订货点的库存水平。生产商响应客户的订货需求，在订货周期末，或在提前期Lbi末对客户的库存进行瞬时补货。从图1可知，在订货周期末或提前期末，客户已处在缺货状态，通过瞬时补货，客户的库存水平得到了及时的补充。生产商一开始就以生产率Pm进行生产，因此库存水平在不断的扩大，当对各个客户进行补货后，库存水平相应地削减。当时间到达Tm2时，生产商已生产能满足所有客户在Tm1周期内所需的产品，因此停止了生产过程。当时间到达Tm1时，生产商的库存水平正好降为0。具体假设如下：

图1 供应链中各个成员的库存水平变化情况

(1)客户在重订货点提前订货，产品在订货周期末或在提前期末瞬时补货；

(2)客户的补货量或订货量大于客户在订货周期末或在提前期末的缺货量，因此补货后，所有客户的库存水平为正；

(3)客户的需求为线性函数；

(4)客户的单位缺货成本要大于单位持有成本；

(5)生产商采用“最早开始生产”策略生产产品；

(6)不允许生产商存在缺货现象，因此生产商的库存水平永远大于等于0；

(7)生产商的生产率要大于所有客户的总需求率，因此生产商的生产时间Tm2要小于生产商的生产时间间隔Tm1；

(8)生产商的生产量恰好等于所有客户的总需求量，因此在生产时间间隔Tm1末，生产商的库存水平为0。

(9)生产商一次生产恰好满足所有客户订货量的产品，生产完后停止生产，对设备进行维护进行下次生产的准备。

3 供应链提前订货库存模型

3.1 提前订货库存模型

客户的提前订货库存模型包括三项库存成本：产品订货成本、库存持有成本和库存缺货成本。

综上所述，经整理后，客户的平均库存成本为

(1)

3.2 生产库存模型

生产商的生产库存模型包括两项库存成本：生产准备成本和库存持有成本。

(2)平均库存持有成本：生产商在周期Tm1中含有2个阶段，前期即在Tm2

综上所述，供应商的总平均库存成本为

(2)

3.3 供应链提前订货库存模型

根据式(1-2)，供应链提前订货库存模型为：

(3)

上式对rbi分别求一阶导和二阶导，有：

(4)

由式(4)的第二个等式大于0这个条件可知，式(3)存在最优订货点库存水平rbi*，保证式(3)存在最小的库存成本值。令式(4)的第一个等式等于0，可得最优订货点库存水平rbi*：

(5)

将其代入式(3)，可得C：

(6)

由(6)可知，供应链库存成本已与变量Lbi无关。对上式对Tm1分别求一阶导和二阶导，有：

(7)

由式(7)的第二等式可知，二阶导大于0，式(6)存在最优生产时间间隔Tm1*，保证式(6)存在最小的库存成本值。令式(7)的第一等式为0，即一阶导等于0，可得最优生产时间间隔Tm1*：

(8)

将其代入式(6)，可得C：

(9)

在式(9)中，继续对订货次数mbi求一阶导，并为0，即：

整理后可得：

(10)

设

(11)

将式(11)代入式(10)，并整理可得：

(12)

(13)

(14)

由式(10-12)整理式(8)，可得最优生产时间间隔Tm1*为：

(15)

由式(14-15)可知，最优订货周期Tbi*和最优订货量Qbi*：

(16)

将式(14-15)代入式(5)，可得最优重订货点库存水平rbi*：

(17)

(18)

将式(14-16)代入(1-3)可得客户的最小库存成本、生产商的最小库存成本和供应链的最小库存成本：

(19)

由上式可知，库存成本估计值与订货提前期Lbi无关。另外实际优化值mbi*、Qbi*、rbi*分别为该参数四舍五入后取整后的值。

4 讨论

如果对客户进行单独优化，即不考虑生产商的生产库存成本模型，则根据式(1)可估计最优重订货点库存水平为：

(20)

用符号(s)表明是单独优化的结果，实际优化值rbi*(s)为四舍五入后取整后的值。比较式(17)和(20)可知，订货点rbi*估计结果不一样。在联合优化条件下，不仅与客户的所有库存参数有关，还与生产商的持有库存参数hm有关。对于单独优化，订货提前期的约束条件为：

(21)

同理，订货提前期在单独优化下，与生产商的持有库存成本hm无关。

5 仿真分析

假设供应链由一个供应商和三个客户组成，其参数如下：

客户1：Ab1=150元/次，db1=15000件/年，hb1=15元/件/年，sb1=30元/件/年；

客户2：Ab2=200元/次，db2=10000件/年，hb2=20元/件/年，sb2=25元/件/年；

客户3：Ab3=180元/次；db3=8000件/年，hb3=25元/件/年，sb3=35元/件/年；

生产商：Am=1000元/次；Pm=60000件/年；hm=8元/件/年。

由上面库存参数和式(18)可知，在联合优化决策条件下，订货提前期约束条件为：

0.0111≤Lb1(j)≤0.0333，0.0203≤Lb2(j)≤0.0457，0.0186≤Lb3(j)≤0.0446

由上面库存参数和式(21)可知，在分散优化决策条件下，订货提前期约束条件为：

0.0149≤Lb1(s)≤0.0447，0.0267≤Lb2(s)≤0.0600，0.0231≤Lb3(s)≤0.0555

上面约束条件用括号符号s表明是单独优化结果，用括号符号j表明是联合优化结果。取上面各成员订货提前期的交集作为区间，来分析重订货点库存水平rbi*随订货提前期的变化。如图2所示，joint表示联合优化结果，separate表示单独优化结果。订货提前期对重订货点的影响，客户1最敏感，客户2次之，客户3最不敏感。最优重订货点库存水平随着订货提前期的增加而变大。对于所有客户，分散决策优化的重订货点库存水平要明显高于联合优化决策的重订货点库存水平。

图2 订货提前期对重订货点的影响

客户1客户2客户3生产商供应链最优订货次数mbi∗433------最优重订货点库存水平rbi∗584791------最优订货周期Tbi∗0．03240．04320．0432------最优订货量Qbi∗500457357------最优生产时间间隔Tm1∗---------0．1297---最小成本(Cbi∗、Cm∗和C∗)70006913．36636．32067341222

图3 重订货点对客户库存成本的影响

图4 重订货点对供应链库存成本的影响

假设Lb1=0.015，Lb2=0.025，Lb3=0.03，在联合优化决策条件下，最优估计参数如下表所示。

从表2可知，Qb1*=500，Qb2*=457和Qb3*=357，设重订货点0≤rbi≤Qbi*，即0≤rb1≤500，0≤rb2≤457和0≤rb3≤357。下面分别针对每个客户的重订货点区间，研究客户重订货点对客户库存成本和供应链库存成本的影响。从图3和图4可知，对于客户库存成本和对应的供应链库存成本都存在一个最小点，即图中符号“*”的位置。其实最小点位置为表2所示的估计的最优重订货点rbi*，当订货点库存水平rbi大于rbi*时，随着rbi的增大，或者当订货点库存水平rbi小于rbi*时，随着rbi的减少，客户库存成本和供应链库存成本变大。这种现象在右侧更加明显，即当订货点库存水平rbi大于rbi*的时候。另外从图中表明，最优重订货点是存在的，并且是唯一的，从侧面说明本论文提出的联合优化方法是正确的。

6 结语

本文对由一个生产商和多个客户组成的两级供应链库存管理进行了研究，假设客户可以提前订货和允许客户存在缺货现象，并假设生产商采用“最早开始生产”的策略方法，建立了由重订货点、订货次数和生产时间间隔为变量的供应链提前订货库存成本管理模型。联合优化决策方法表明目标函数存在这些变量的最优估计值，保证目标函数是最优的，即供应链联合库存成本是最小的。另外讨论了分散优化决策和联合优化决策条件下订货提前期约束条件的差异性。仿真表明，在相同的库存参数条件下，联合优化决策条件下的重订货点库存水平要明显低于分散优化决策。通过对重订货点对客户库存成本和供应链库存成本的仿真分析，了解存在唯一的最优重订货点估计值，保证客户库存成本和供应链库存成本最低，这种现象与理论推导估计结果一致，验证了本文提出的联合优化方法是正确的。

本文采用了“最早开始生产”的策略，只要生产商的生产率大于所有客户的总需求率，就能保证生产商不存在缺货现象的出现，从而简化了供应链提前订货库存成本管理模型和优化求解的方法。但是“最早开始生产”的策略相比不允许生产商缺货现象的“最迟开始生产”的策略，生产商或者整个供应链需要支付更多的库存成本。下一步将研究“最迟开始生产”策略，研究最迟开始生产时间的约束条件和临界值，以及对库存最优参数与库存成本的影响。

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Lead-time Order Behavior Study in Two-echelon Supply Chain witha Single Manufacturer and Multiple Customers

LI Qun-xia, MA Feng-cai, ZHANG Qun

(Donlinks School of Economics and Management, University of Science andTechnology Beijing, Beijing 100083,China)

There are many researches focusing on the optimum inventory solution in the supply chain that the order is committed at the lead time and the inventory shortage can be allowed. More specifically, the lead-time is assumed as a negative exponential distribution and the optimum inventory solution is conducted in one-manufacturer and one-customer supply chain. Or, the lead-time is assumed that it can be changed according to the time, and the inventory shortage can be allowed in one-manufacturer and one-customer supply chain. Or, only part of the inventory shortage can be backordered. In first case, the shortage needs so long time to be backordered in some times, and probably can’t be backordered in the extreme condition.In this paper, the lead-time is assumed that it can be controlled. Once the order from the customer is provided, the shortage can be immediately backordered fully at the end of the order time. With such simple assumptions, the research is easily extended into the two-echelon supply chain consisting of a single manufacturer and multiple customers. The optimization process can be described as follows. Firstly, the separate inventory models respectively relating to the manufacturer and the customers are formulated according to the manufacturing stock behavior and order stock behavior. Then the joint inventory model of the supply chain is provided by combining the separate models together. Finally, with the joint optimization method, the optimum parameters, i.e. the optimum reorder point, the optimum production time interval and the optimum order time are derived to guarantee the joint inventory model has the minimal inventory cost. Similarly, we also provide the optimum results for separate inventory models for comparison to show the advantage of the joint optimization method.The simulation analysis shows that the result about the estimated lead-time is so different between the joint optimization method and the separate optimization method. The interval of the lead time is much narrower in the joint optimization method. With enlarging the value of the lead time, the reorder point increases consistently in linear relation. All the customers have the same following result, i.e. the reorder point is larger in the separate optimization method than in the joint optimization method. In addition, we also simulate the relation between the inventory cost and the reorder point for all the customers. All the customers have same quadratic curve shape and the optimum reorder point is existed and at the bottom of the quadratic curve. The optimum reorder point is unique and is existed. This result is evidently shown that the proposed joint inventory model and the related optimization method are correct. The research result of the paper is helpful for the researchers to study the inventory optimization problem in the more complicated supply chain and it can be useful for real-world supply chain operation and optimization management.

supply chain inventory; single-manufacturer multi-customers; Lead-time order; Shortage

2015-09-09；

2016-07-20

国家自然科学基金重点项目(71231001)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(FRF-TP-15-033A3);北京市社会科学基金研究基地项目(16JDGLB019)

李群霞(1977-), 女(汉族)，河北邢台人，北京科技大学经济东凌经济管理学院管理科学与工程系副教授，博士，研究方向：供应链管理、物流管理、应用统计、资源效率管理，E-mail：kellylqx@163.com.

1003-207(2017)04-0052-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.04.007

F253

A