经济增长与碳排放协调发展及一致性模型研究——宏观低碳经济的数理分析

李爱华，宿 洁，贾传亮

(中央财经大学管理科学与工程学院，北京 100081)



经济增长与碳排放协调发展及一致性模型研究
——宏观低碳经济的数理分析

李爱华，宿 洁，贾传亮

(中央财经大学管理科学与工程学院，北京 100081)

在全球化背景下，未来经济增长将更多地依靠制度改进、科技创新和技术进步，因此，调整经济的增长方式和产业结构可以在保证经济稳定发展的同时实现碳排放总量下降。在科技进步不变的情况下，即经济增长与碳排放二者之间仍存在正相关时，从华氏经济增长优化模型出发，给出了碳排放减少优化模型，通过将二者合并得到经济增长与碳排放协调发展的分式规划模型，并给出其求解方法；同时,通过分析和证明经济增长率、Frobenius根的关系、消耗系数、消耗碳排放系数之间关系，得出了经济增长与碳排放的一致性模型和解决方法。

正特征矢量；碳排放；经济增长;一致性

1 引言

碳排放问题和经济发展问题始终被世界各国所重视。经济发展中需要不断地消耗能源，而其资源数量有限，且能源在投入生产的过程中会产生温室气体，有可能对人类的生存发展构成了威胁；另一方面，人们对于碳排放问题越来越关注，碳排放直接影响到呼吸的空气，与人们的健康息息相关。因此，低碳经济协调发展模式研究十分重要，其研究结果是制定符合本国的低碳经济发展之路的重要决策依据。

经济发展水平是影响碳排放总量的重要因素[1]。在经济系统中，经济增长与碳排放二者之间通常存在相关关系，目前关于两者的研究可以分为两个类型，类型一是利用所获得数据从计量角度实证分析，如有些学者利用中国的数据实证分析了中国经济增长是碳排放增长的推动原因[2]。也有学者利用数据实证研究了碳排放增长率的运行机理[3]；或者基于中国的省际面板数据研究经济增长、产业结构对碳排放的影响[4]。类型二是以数理模型为工具，研究能源投入要素与经济增长的关系和机制；如根据经济增长理论建立模型，如考虑能源约束下经济增长的稳态路径或考虑污染因素的经济增长模型[5-7]，从研究成果来看，尽管存在资源约束或者环境污染，但是在经济系统满足一定条件下，可持续增长是可以实现的，这符合经济学中的乐观派观点。类型三则是将上面两个类型的方法结合起来使用，如基于内生增长理论与GVAR模型的能源消费控制目标下对经济增长与碳减排研究[8]。

如上所述，碳排放和经济增长的关系一直受到关注，如何通过经济结构优化以实现经济最优增长也一直都是各个国家和地区所关心的重要问题。不同的经济体制和社会发展时期，人们提出了不同的经济增长模型，如针对在计划期末以资本存量最大化为目标的经济增长问题，Samuelson等[9]提出Turnpike Theorem，证明了当计划期相当长时，此问题最优解的轨迹收敛于Neumann均衡解。早在上个世纪六十年代，华罗庚教授就开始研究经济增长问题的正特征矢量法，针对没有技术进步和消费的封闭动态经济系统,证明了初始投入须按直接消耗系数矩阵的正特征矢量进行，才能保证经济增长速度最快，即经济在最优轨道上运行[10-16]。而后又有众多学者对宏观经济模型进行了推广，研究了带有消费或投资的动态投入产出经济模型[17-19]。里昂惕夫[20]提出了投入产出分析方法，得到了静态经济系统的总产出与最终产品(由消费、投资和出口三部分组成)之间的平衡模型。李爱华等[21]从我国当前经济系统中消费、投资和出口的实际作用和现有的国民经济数据统计口径出发，借助于Leontief平衡模型，对经典的华氏经济增长模型进行改进，建立了一类实用华氏宏观经济增长模型，论证了该经济增长模型能够实现宏观经济均衡较快的发展，并且给出了利用实际经济数据估算投入系数的方法。

目前对于碳排放和经济增长的研究多是从可以收集的数据，利用实证分析的方法研究两者的关系，在数据真实的前提下，实证结果可以描述出两者的关系，但是不能给出其相应的策略分析，本文基于华氏经济增长优化模型以及正特征矢量法的研究结果[10-16，19,21-22]，讨论了在科技进步不变的情况下，即经济增长与碳排放二者之间仍存在正相关的情况下，经济系统如何通过产业结构的调整，实现经济增长与碳排放的协调发展。首先从华氏经济增长优化模型出发，给出碳排放减少优化模型，将二者合并得到经济增长与碳排放协调发展的分式规划模型，并给出其求解方法;同时论证了经济增长和碳排放减少的一致性,两者可以通过技术改造、技术革新等科技进步的途径达到一致性。

2 华氏经济增长模型及其推广

2.1 经典华氏经济增长模型

早在上个世纪六十年代初期，针对经济增长问题的正特征矢量法就被提出和研究，对于没有技术进步和消费的封闭动态经济系统[10]：

(1)

其中，A表示经济系统的直接消耗系数矩阵；X(t)表示经济系统在第t年的产出向量；Y(t)和Y(t+1)分别表示经济系统在第t年和第t+1年的投入向量。

若记：

H=A-1

则有：

X(t+1)=HX(t)

(2)

2.2 有消费的华氏宏观经济增长模型

实际经济发展中，每年的消费、投资和出口会有很大一部分作为随后时期的“投入来源”重新进入经济系统中来，因此不妨设β为每年经济系统的最终产品再投入的比例，令β1表示第t年增长部分的投入系数(积累率)，A表示直接消耗系数矩阵，e表示单位行向量，Q表示资源限制列向量。这时经济系统(1)可以写成：

(3)

整理后得到：

AX(t+1)=[(1-β1)A+β1I]X(t)

(4)

即：

X(t+1)=[βA-1+(1-β)I]X(t)

(5)

若记：

H=βA-1+(1-β)I

则有：

X(t+1)=HX(t)

(6)

由Perron-Frobenuis定理[17]可知，如果A是一个不可约非负方阵，则A存在最大特征根λ>0和其对应特征向量U>0，使得AU=λU。

2.3 实用华氏宏观经济增长模型

按照我国现在使用的国民经济数据统计方法和口径可知，经济系统在第t年的最终产品值为[C(t)+B(t)+E(t)+R(t)]X(t)，其中R(t)表示经济系统在第t年的误差占总产出份额的比例向量。

仍考虑2.2研究中的投入系数β(每年经济系统的最终产品再投入的比例)，则每年经济系统的最终产品再进入经济系统的实际值如下：

F(t)=β[C(t)+B(t)+E(t)+R(t)]

(7)

从而，借助于Leontief平衡模型，在经典华氏经济增长模型(1)中考虑每年经济系统的最终产品再进入经济系统的实际值(7)的作用，可得到一个改进的经济增长模型如下：

(8)

3 经济增长与碳排放减少优化模型

3.1 经济增长优化模型

对于有消费的华氏宏观经济增长模型(3)，如果投入产出平衡表为价值型，则由华罗庚[12]知公式(5)有如下线性规划模型(9)，该模型记为经济增长优化模型。

maxe[βA-1+(1-β)I]X

(9)

上述经济增长优化模型中X表示第t+1年投入列向量，β表示第t年增长部分的投入系数(积累率)，A表示直接消耗系数矩阵，e表示单位行向量，Q表示资源限制列向量。

3.2 碳排放减少优化模型

设ci表示经济系统第i部门的碳排放强度，即表示第i部门生产单位产品碳排放的数量，C={c1,c2,…,cn}表示碳排放强度行向量。则有线性规划(10)所示，该模型即为碳排放减少优化模型。

minC[βA-1+(1-β)I]X

(10)

上述碳排放减少优化模型中X，β，A，e，Q的意义同上。

3.3 经济增长与碳排放协调发展模型

由于经济增长优化模型(9)与碳排放协调发展模型(10)的约束条件相同，若同时追求经济增长最大和碳排放最少，则有多目标线性规划模型如下:

maxe[βA-1+(1-β)I]X

minC[βA-1+(1-β)I]X

(11)

如果把追求经济增长与碳排放之比达到最大，作为经济增长与碳排放协调发展的目标，则多目标规划模型(11)又可写成如下线性分式规划模型:

(12)

线性分式规划模型(12)中X，β，A，e，Q的意义同上；模型(12)即为经济增长与碳排放协调发展模型。

定理:如果把追求经济增长与碳排放之比达到最大，作为经济增长与碳排放协调发展的目标，经济增长与碳排放协调发展模型(12)存在最优解。

证明: 由charnes-cooper方法[12]知:

令:

Y=zX

则经济增长与碳排放协调发展模型即线性分式规划(12)转化为如下线性规划:

maxe[βA-1+(1-β)I]Y

(13)

由于解线性规划(13)有多项式算法[19]，于是线性分式规划(12)即经济增长与碳排放协调发展模型是多项式时间可解的。

4 经济增长与碳排放减少的一致性

4.1 经济增长率与Frobenius根的关系

关于经济增长率和Frobenius根的关系有如下命题。

命题1：在经济系统(3)中，经济增长率是消耗系数矩阵Frobenius根的严格减函数。

设A为经济系统的消耗系数矩阵，若A是不可约非负方阵，则A存在最大特征根λA>0，并称之为A的Frobenius根。由华氏宏观经济增长模型[10-16]知：

X(t+1)=[βA-1+(1-β)I]X(t)

令:

H=βA-1+(1-β)I

则有:

X(t+1)=HX(t)

即:

可得:

该结论说明，经济增长率是消耗系数矩阵Frobenius根的严格减函数。证毕。

4.2 Frobenius根与消耗系数之间的关系

关于Frobenius根与消耗系数有如下关系成立。

命题2：在经济系统(3)中，消耗系数矩阵的Frobenius根是消耗系数的严格增函数。

证明：

对于经济系统(3)，令:

A=(aij)n×n

其中aij表示j部门生产单位产品所需i部门产品的数量。设A为不可约非负方阵，λA为A的Frobenius根，VT、U分别为A对应于λA的左、右特征向量。根据华罗庚[10-16]，有：

该定理说明，消耗系数矩阵的Frobenius根是消耗系数的严格增函数。

4.3 消耗系数与消耗碳排放系数的关系

关于消耗碳排放系数和消耗碳排放系数之间有如下关系成立。

命题3：对于经济系统(3)，设cij表示j部门生产单位产品消耗i部门产品时碳排放的数量，称为消耗碳排放系数；ci表示i部门生产单位产品碳排放的数量，称为碳排放系数。

则有：

cij=ciaij

可得：

该结论说明，消耗系数是消耗碳排放系数的严格增函数。证毕。

4.4 经济增长率与消耗碳排放系数的关系

关于经济增长率与消耗碳排放系数之间有如下关系成立。

命题4：对于经济系统(3)，经济增长率是消耗碳排放系数的严格减函数，即经济增长与碳排放减少二者是一致的。

证明：

所以：

该结论说明，经济增长率是消耗碳排放系数的严格减函数，即经济增长与碳排放减少二者是一致的。证毕。

5 经济增长率与碳排放减少一致性的实现途径

基于命题4的结论，由于：

若记：

则ci0j0的减少将会引起α最快的增加。又由于：

若记：

则减少j0部门消耗i0部门时的消耗碳排放系数ci0j0，将是经济增长与碳排放减少同时实现的最佳选择。

由于：

ci0j0=ci0ai0j0

于是减少i0部门的碳排放系数ci0和j0部门消耗i0部门时的消耗系数ai0j0，将是经济增长与碳排放减少同时实现的最有效途径。

6 结语

随着社会的发展与科技的进步，碳排放和经济增长的问题引起了越来越多的关注，两者之间的关系如何以及如何同时实现经济增长与碳排放减少是一个重要研究议题。本文通对过宏观低炭经济的数理分析,证明了在全球化背景下未来经济增长将更多地依靠制度改进、科技创新和技术进步。因此，调整经济的增长方式和产业结构可以在保证经济稳定发展的同时实现碳排放总量下降。

研究从华氏经济增长优化模型出发，推出了碳排放减少优化模型，通过将二者合并得到经济增长与碳排放协调发展的分式规划模型，并给出分式规划模型的求解方法。同时,通过分析和证明经济增长率、Frobenius根、消耗系数、消耗碳排放系数之间关系，得出了经济增长与碳排放的一致性模型和解决方法。本文的研究结果对于当前政府进行经济增长与碳排放控制宏观决策具有重要的指导意义。

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The Coordinated Development and Consistent ModelBetween Economic Growth and Carbon Emissions

LI Ai-hua, SU Jie, JIA Chuan-liang

(School of Management Science and Engineering, Central University of Finance and Economics,Beijing 100081，China)

Under the background of globalization, the future economic growth will more rely on the improvement of the system of science and technology innovation and technological progress. Therefore, the adjustment of economic growth and industrial structure can guarantee the stable economic development and at the same time to achieve a decrease in total carbon emissions. When the technology advance is invariant, which means there exists positive correlation between economic growth and carbon emissions, the carbon emission reduction model could be drawn from HUA’S economic growth and optimization model.The fractional programming model could be drawn from the coordinated development of economics growth with carbon emissions, and the method to solve the model is given. At the same time, the consistency between economic growth and carbon emission model could be concluded through the analysis of the relationship among economic growth rate, Frobenius root, consumption coefficient and carbon emission coefficient of consumption.The research result would help government to make decision for increasing economy and controlling carbon emissions at the same time.

positive feature vector; carbon emission; economic growth; consistency

2016-04-25；

2016-08-13

国家自然科学基金资助项目(71401188);中央高校基本科研业务费专项资金项目

李爱华(1978-)，女(汉族)，山东人， 中央财经大学管理科学与工程学院副教授，研究方向：优化决策、数据挖掘理论与应用，E-mail:aihuali@cufe.edu.cn.

1003-207(2017)04-0001-06

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.04.001

C931

A