基于“数学工具”的中职数学问题解决教学模式的构建

罗海霞

基于“数学工具”的中职数学问题解决教学模式的构建

罗海霞

问题解决教学是数学教学的核心，而目前中等职业学校数学教学仍以传统的知识传授为主，如何抓住数学教学的核心，之于中等职业学校的学生薄弱的数学基础和学习能力，始终是个难题。从中职生的数学学习现状、数学工具的功能、问题解决学习特征、问题解决教学程序和中职数学教学目标等方面，探讨了如何借助数学工具，进行中职校数学问题解决教学的模式构建。

中职；数学；教学模式；教学工具；问题解决

“数学工具”指具有信息化技术特征的数学软件，本文特指几何画板、计算器和EXCEL。

一、从中职生数学学习现状看应用数学工具的必要性

（一）中职生数学学习现状

2016年，国家教育部在进行新一轮教材编制的同时，对1万名中等职业学校的学生进行了调研。结果发现，中职生数学学习水平和能力尚达不到小学毕业的水平。依据笔者的调查，具体表现在以下三个方面。（1）中职生对于数学知识的记忆严重欠缺。调查发现，中职生对概念、定理和公式的记忆往往只凭印象，不够准确；运算法则的记忆严重混淆；解题方法和技巧只记表象，表现出对数学知识模糊记忆的特性。即时记忆虽然较好，但没有在深刻理解意义后形成长时记忆，缺少应有的记忆动力和热情，呈现出较为严重的记忆缺失。[1]（2）几乎所有“中职生”在数学思维缜密性方面存在不足。表现出影响数学思维缜密性的思维深刻性不够，对数学语言的内在关系缺少足够的认识，对出现的错误只有肤浅的反思，对数学概念的直觉理解往往存在较大的偏差，数学思维的准确性不高、完备性不够、推理的随意性较大及反思的深刻性不足，不能形成运用高度省略、简化和浓缩的方式洞察数学关系的能力。推理过程中对形式化、符号化了的逻辑用语的理解尤为困难。表现出不定型、不稳定的思维样式。[2]（3）数学应用意识十分薄弱。表现为，除了小学的简单计算知识以外，数学知识远离了“中职生”的生活。对学科课程中所用到的数学知识了解度极低，对数学解题技巧的记忆胜过对数学方法的了解。运用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力薄弱。在生活中主动应用数学模型思想的意识淡薄。数学应用能力的知识储备、能力储备均不足。[3]

由此可见，中职生缺乏学习中职数学应有的计算能力基础、思维能力基础和数学应用意识。若要继续学习数学，必须要借助能帮助他们计算、思维和应用的平台，而具有这种功能的最便捷的工具就是计算器、几何画板和EXCEL等数学软件，即本文所指的数学工具。

（二）数学工具的功能

“数学工具”指在数学教学过程中，为更好地促进并达成学习目标所采用的工具，主要指数学软件或数学辞典等。本课题指几何画板、计算器和EXCEI等较为普及的数学教学软件。这些教学软件具有强大的计算、作图、列表、动画和演示等功能。在讲抽象的概念之前，运用计算机和数学软件的计算、演示和模拟功能，让他们自己去分析、发现其中的规律，在真正讲授抽象概念时，就不会感到突然。在讲述定理时，也可以参照这个办法，在计算机的帮助下，可以将以往繁重的、手工不能实现的计算变得轻松起来。这样就可以将实际问题引进课堂，让学生体会数学的实际价值。[4]这些功能可以帮助中职生弥补计算、思维和应用意识不足的缺憾。故中职生的数学学习需要数学工具的参与，因为，数学工具可以促进中职生进行计算、思维和应用。

二、从当前中职数学教学模式看问题解决教学模式

当前，中职数学教学模式仍然以凯洛夫教学模式为主，强调“以知识、技能和熟练技巧的体系去武装学生，并在这一过程中使学生的认识能力和才能得到发展”。[5]教学过程是教师教、学生学，教学的基本阶段可以用“直观—思维—实践”公式说明，其核心是教学五环节，组织教学—复习旧课—讲授新课—巩固新课—布置作业，强调教学中的知识传授的系统完整和教学结构的严谨整饬。[5]这种模式在中职数学课堂表现为“五难”：组织教学难、复习旧知识难、讲授新课难、巩固练习难和作业完成难。

继“新数运动”和“回归基础”之后，1980年，美国数学家大会提出了数学教育的核心是“问题解决”。这一观点迅速被全世界大多数国家接受，直至今天，仍然是数学教学研究的热点。我国自上世纪80年代开始引进国外的相关著作，到上世纪90年代，全国范围内掀起问题解决的热潮，直至现在，丰富了问题解决的内涵：由解题教学到解决问题教学到问题解决教学。而中职数学教学由于其在中职校课程的地位、生源和环境等因素的影响，并未真正跟上世界范围内的教育核心改革，但这并不是说中职生就不需要数学核心素养的提升，恰恰相反，作为未来高素质技能性人才，其必备的素质就是解决陌生问题的能力。因此，在中职校数学课堂实施问题解决教学势在必行。

如果说，现行凯洛夫教学模式强调教学中的知识传授的系统完整和教学结构的严谨整饬，[5]侧重于培养逻辑推理和思维严谨性。那么，问题解决教学的教育价值就在于培养学生学会观察、分类、概括、归纳、一般化、特殊化和分析解决问题的思维能力，运用原有的知识和经验解决新的陌生的问题。前者，若加以适当的改造、变通仍将发挥很大的作用。目前，却受到当代教育理论和教育实践的质疑。也许是因为，教学模式信息化时代的大潮扑面而来，建构主义教学观和实验教学实践的兴起，使数学课程的教学目标正悄然地发生变化。中职数学课程标准明确指出：“培养学生运用计算器、计算机进行计算的能力，学会分析问题、解决问题的能力。”这都要求中职数学教学模式的构建不仅需要关注课程的性质、特征，更要为目标服务。因此，信息技术环境下的问题解决教学再不能退隐中职数学教学幕后，它应像普通教育那样走上前台，而不是中职常见的用几何画板研制个别课例，或将计算器、EXCEL的部分操作案例仅仅作为教材的附录加以介绍。构建有数学工具参与下的问题解决教学模式也就成了亟待解决的问题。

三、数学工具下中职数学问题解决教学模式的构建

（一）基于中职生认知特征和运用数学工具进行问题解决学习的特点，构建相应的模式

中职生普遍属于数学学习方面的失能人群，具体表现为认知障碍、记忆障碍、阅读障碍及运算障碍等认知特征以及多动、分心、固执、笨拙、冲动和孤僻等行为特征。心理学家沃纳研究认为：“处于这种状态的学生，往往在数学学习方面表现出审题能力差，抽象思维能力薄弱，空间认知能力低，记忆力低导致的运算障碍等。”针对这样的学生，将教学方式结构化（从个别教学到小组教学），能使学生形成自我表达及与别人进行问答的习惯。

而问题解决学习正是具有在教学方式结构化的情境中开展学习的特点。问题解决学习起源于20世纪50年美国的医学教育。它的原型基本特征有五个方面：（1）将学生分组；（2）组内对问题进行研究和讨论学习；（3）学生进行自我指导式；（4）再次集合回报各自学习心得，并处理问题；（5）学生对自己的工作进行自评和组评。通过问题解决对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成问题解决的技能，发展自主学习能力。问题解决是贯穿教学始终的核心。问题解决的特征就成为构建模式应遵循的原则之一。问题解决的特征包括：（1）目的指向性；（2）心理过程的一系列操作序列；（3）为了达到某种终结状态，而采用的认知操作过程。

在问题解决学习的过程中，忽略操作的作用而总是保持在语言水平上，特别在数学教育中这是一个严重的错误。操作和数学实验远非阻碍了演绎思想的后期发展，事实上，它组成了一个必要的准备。因此，使用数学工具是为了达到目的而选择的操作手段，是认知操作过程的一部分，是认知操作手段的延伸和拓展，是进行问题解决学习不可或缺的工具。数学工具在辅助问题解决学习中具有以下特点：（1）形象性。借助数学工具可以形象地展示数学概念、规律；（2）实时性。数学工具可以随时根据学习的需要展示数学对象；（3）替代性。数学工具可以替代中职生开展计算、作图和制表等工作。

（二）基于中职生操作数学工具进行数学问题解决学习的教学程序

数学问题解决教学是通过创设问题情境，激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程。它强调使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识和实际操作能力。运用数学工具进行问题解决的教学程序包括以下六个环节。

1.基于问题解决的教学设计。问题解决在问题空间中进行搜索，由一定的情景引起的，按照一定的目标，应用各种认知活动、技能等，经过一系列的思维操作，使问题得以解决的过程。问题的设计是整个教学过程的关键。所提出的问题既要激发学生的学习兴趣，又要包括即将学习的数学知识，且能引导学生自主探究，不断深入。关于问题的设计流程，如图1。

图1 问题的设计流程图

2.数学知识的应用准备。数学知识包括数学的概念、公式、定理和运算方法等。此处的知识传授，有别于传统的教学模式中通过反复训练，强化知识认知。传统模式固然强化了基础，然而，却牺牲了学生的问题意识、创造思维和应用能力的培养。本模式则强调通过问题的引导，教师指导学生经过查找、思维等过程，亲身体会知识产生的过程，这样的学习具有灵活性和可变通性。

3.建立问题解决数学模型。数学模型（MathematicalModel）是将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而，从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导，通常用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象和框图等，描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。建立数学模型是沟通现实问题、数学知识和数学工具的必要途径。

4.确定数学工具和操作路径。当建立在数学知识基础之上的数学模型一经确立，解决这个模型对应的问题，就需要学生寻找合适的数学工具。如模型是二次函数最值问题，可以选择几何画板中的作图工具，很容易地获得结果。而无须运用二次函数图像法求最值或配方法求最值，因为，这些方法对于多数“中职生”是难以理解的，更无从运用它们解决问题。借助工具，不仅可以帮助学生克服因解决数学模型带来的思维障碍，而且可以帮助学生顺利地发展建模思维。

5.反思小结。对整个问题解决过程进行梳理，凝缩问题点、确定知识点、熟悉工具操作路径，体会数学模型的建立思路。总之，这个过程是对整个解决过程的提炼和升华。

6.反馈提升。在反思小结的基础上，通过问题点的变化，由学生独立地运用前面的思路体验解决问题的全过程，巩固问题解决的思维方法，熟悉学习过的数学知识及数学工具的操作路径，提升解决问题的能力。

终上所述，基于利用数学工具进行问题解决的教学程序，立足于问题的设置，创生出问题，引导出新知，构建出数学模型，借助数学工具加以解决，触及了让数学基础薄弱（运算能力薄弱，数学技巧等不足）的中职生，达到数学学习的最高境界——问题解决的目标。

（三）基于问题解决教学和中职数学教学目标的达成

根据江苏省中等职业学校数学教学标准和斯根普“工具性理解”的内涵，中等职业学校“工具性”教学模式的教学目的归纳如下：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。操作教学模式通过强调课程的逻辑体系，运用数学工具，进行操作学习，解决学生逻辑推演过程中存在的基础薄弱的问题，激发学生学习兴趣，培养学生作为未来公民所必须的数学素养。

1.获得专业学习和终身发展所需要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论及形成背景。

2.发展学生分析、比较、综合及推理能力，使学生初步学会应用数学概念和方法，辨明数学关系，形成良好的思维习惯。

3.掌握数学工具（几何画板、计算器和EXCEL等）的使用方法，克服数学学习中来自计算、公式的灵活应用所带来的学习障碍。

4.增强学生提出、分析、建立数学模型，借助数学工具解决问题的能力。

5.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界尤其是专业背景中蕴含的一些数学模型进行思考和做出判断。通过上述分析，构建基于数学工具的中职校数学问题解决教学模式（见图2）。

图2 基于数学工具的中职校数学问题解决教学模式

（四）实现条件

1.教师。首先，坚持有效教学的观念，让中职生真正学到数学。现行的中职数学教学内容是以数学概念、公式和定理为依托，按照逻辑推演的方式呈现出来，符合数学自身的逻辑结构。然而，中职生都难以掌握。作为中职校的数学教师，理应树立有效教学的理念，根据中职生的实际，教授他们能够学习的数学。其次，努力提升数学工具的操作能力。作为现代化教学手段之一的几何画板、计算器和EXCEL等数学工具是现代人工作、生活必须的工具之一，更是中职生数学学习的重要平台。作为中等职业学校的数学教师，提高自身的操作能力，有利于灵活、有效地指导学生运用工具解决数学问题。再次，熟悉问题情境教学方法。问题设计需要具有创生新知识和运用数学工具的取向。教学过程中尊重学生的主体地位，对于学生能自己探究的问题，尽量放手让其尝试，特别是数学工具的操作，应指导学生不断练习，以达到解决问题的目的。

2.教学环境。教学模式依托数学工具改造数学内容，借助计算机房或计算器等工具进行教学。

（1）合理的分组。问题解决学习不是个人能够完成的行为，需要借助小组的力量。所以，问题解决教学首先应对学生进行分组，按照学生的认知水平合理搭配小组成员，每组都安排学习能力较强的组长和组织能力较强的组长两名。

（2）借助数学工具改造数学内容。目前，大多数中职校使用的数学教材是省内统编教材，省内统编教材主要采用以知识为主的逻辑体系编制，按照学生的认知规律呈现，已经具有教学功能。但教材中的知识点有所减少，如：函数的周期性判断、单调性判断；有些知识已经被删除，如：复数、函数最值问题。这样，使得现有的中职数学教材存在知识体系不完整的情况，不利于学生数学素养的培养和数学认知能力的形成。另外，现有的数学知识系统在讲授的过程中，仍然存在由于学生的数学基础薄弱，导致学习效率降低的问题。

数学“工具性”教学模式则需要利用数学工具改造数学解题过程。

这样的例题表述方式不同于纯粹的数学推理。降低数学推理过程给学生带来的难度，从而，提高数学学习兴趣和学习效益。

（3）中职学校数学工具教学的条件分析。一个机房一天可以容纳4～8个班级的数学课，5个机房一天可以容纳20～40节数学课教学，操作教学模式所使用的教学工具不仅仅是数学软件，还要使用计算器、对数表等非计算机房的计算工具。一个学年的数学课程，一所中等规模的中等专业学校基本可以满足实用数学课程教学的要求，同时，还不影响技能训练的正常进行。此外，江苏省中等职业学校数学教材都配有计算器，可以保证操作教学模式的教学需要。

3.学生。操作教学模式是尊重学生主体的模式，它要求教师相信学生能够借助工具解决问题，只需提供过程中的指导和传授适当的知识及工具的操作方法。这种模式和传统的教学模式一样，都要求学生有较强的自主意识和积极主动参与的热情。由于这种模式侧重于动手操作，顺应了中职生感性思维优于理性思维的特点，更能在形式上让中职生接受，实践表明，得到大多数学生的欢迎。

四、数学工具下中职数学问题解决教学模式的反思与探索

（一）数学教学观的冲突

传统的数学教学观认为，数学就是通过应用数学公式、定理和方法进行逻辑演绎的科学，借助数学工具进行操作的教学不是数学教学。持有这种观念的教师，首先，忽略了中职生就是传统数学教学观的失败者，中职数学教育不能再让他们饱尝这种失败感，而是要将他们从这种失败感中解救出来。其次，数学工具是学习现代科技必不可少的工具，掌握这些工具是现代人必须的技能，中职生也不例外。

（二）这种模式并不适用于所有教学内容

任何教学模式都不会适用于一切内容。教学问题解决教学模式对于概念性较强的内容并不适用。如集合的概念，适合传统的教学模式，不宜运用数学工具。所有的概念教学，可以借助工具帮助理解，但不能被工具替代。

（三）“工具性”教学模式改变了课时的分配

如三角函数一章，传统的教学需要18学时，操作教学模式由于可以借助工具操作出任何三角函数的图像，因而，函数的所有性质及问题都迎刃而解，导致教学课时只需要6学时，可以极大地提高教学效率。在教学中可以增加应用性问题的学习，提高学生数学化建立模型，并借助工具解决问题的能力。

[1]罗海霞.中职生数学记忆情况调查及分析[J].职教通讯，2014（27）：31-35.

[2]罗海霞.中职生数学应用意识调查及分析[J].职教通讯，2014（36）：30-33.

[3]罗海霞.中职生数学思维缜密性调查及分析[J].职教通讯，2015（24）：29-32.

[4]王光生，何克抗.基于信息技术数学问题解决教学策略[J].开放教育研究，2009，15（2）：37-43.

[5]黄伟.综合课程实施中教学模式的构建[J].课程教材教法，2004，24（2）：45.

[责任编辑蒋云柯]

2016年第三期江苏省职业教育教学改革研究课题“数学工具促进中职校数学问题解决教学的实践研究”（项目编号：ZYB10）

罗海霞，女，江苏省连云港中等专业学校高级教师，主要研究方向为中等职业学校数学教育。

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1674-7747（2017）09-0032-05