对一道错题的探究

林国红

一、发现问题

一道有关椭圆的习题：

P是椭圆x25+y24=1上的点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2=π3，则△PF1F2的面积等于.

多数学生的分析是这样的：利用椭圆定义和余弦定理，适当地变形，求出|PF1|×|PF2|的值，代入三角形的面积公式即可.

解法一如图1，设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=25，|F1F2|=2c=2.

图1在△PF1F2中，由余弦定理，得（2c）2=m2+n2-2mncosπ3，

4=m2+n2-mn，

4=（m+n）2-3mn，

4=（25）2-3mn，

∴mn=163.

故△PF1F2的面积为12mnsinπ3=12×163×32=433.

同时，也有部分学生是这样思考的：既然要求△PF1F2的面积，则可以利用椭圆定义与三角形的余弦定理列出方程组，以解方程组的形式求得|PF1|，|PF2|的值，再将其代入面积公式即可求得面积.

解法二由解法一，有m+n=25，

m2+n2-mn=4， 代入消元，得

3m2-65m+16=0.

然而，Δ=（-65）2-4×3×16=-12<0，上述方程无解！

两种不同解法，得到两种结果，谁对谁错，难以定夺.究竟怎么回事，学生们陷入思考中，也自发地探索起分歧的原因，但经较长时间的讨论、交流、思考，也没找到导致出现两种结果的原因.

其实这是一道错题！即在椭圆x25+y24=1上不存在点P，使得∠F1PF2=π3.

二、归结原因

椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，短轴的一端点与两焦点所成的角，是椭圆上所有的点（左、右端点除外）与两焦点所成的角中的最大角.图2

证明设椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0），如图2，焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0），c>0，点P在椭圆上，设∠F1PF2=θ，|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a.

由余弦定理，得

cosθ=m2+n2-4c22mn=（m+n）2-2mn-4c22mn

=4a2-4c2-2mn2mn=2b2-mnmn=2b2mn-1.

∵m+n=2a，由基本不等式，有2mn≤m+n，得mn≤a2，当且仅当m=n=a時等号成立.

∴cosθ=2b2mn-1≥2b2a2-1，且有0<θ<π.

此时|PF1|=|PF2|=a，即点P在椭圆短轴端点时（如图2），∠F1PF2最大.

所以，由上述结论可知，在前面题目中，当|PF1|=|PF2|=a=25时，∠F1PF2有最大值，此时有cos∠F1PF2=2b2a2-1=2×45-1=35>cosπ3，故有0<∠F1PF2<π3.所以，在椭圆x25+y24=1上不存在点P，使∠F1PF2=π3.

三、巩固提升

通过上述探究，学生明白了原题是一道错题，也能顺利得到下面的结论：

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），F1，F2是椭圆两个焦点，对于给定的角θ（0<θ<π），在C上存在点P，使∠F1PF2=θ的条件是∠F1BF2≥θ（B为椭圆短轴的一个端点）.

由此结论，可以将原题进行相应的改动，使其不再是一道错题.

改动1：P是椭圆x25+y24=1上的点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2=π6，则△PF1F2的面积等于.

改动2：P是椭圆x24+y2=1上的点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2=π3，则△PF1F2的面积等于.

四、结语

椭圆中与焦点三角形有关的问题，是各类考试的热点，经久不衰，题型灵活多样.本文从一道错题中探究得到焦点三角形中一个有用结论，使学生体会到一些有用的结论将会为解析几何的解题带来帮助.在探究的过程中用到椭圆定义、三角形中的余弦定理、面积公式、基本不等式等知识点，有助于学生对所学的知识进行融合，并能灵活运用.

【参考文献】

[1]人民教育出版社课程教材研究所.数学选修1-1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]吴成强.圆锥曲线中“焦点三角形”有关问题的研究[J].中学数学教与学，2009（3）：45-49.