命题巧妙彰特色，解法多元显新意

☉江苏无锡市太湖格致中学李强

☉江苏无锡市太湖格致中学陈锋

命题巧妙彰特色，解法多元显新意

☉江苏无锡市太湖格致中学李强

☉江苏无锡市太湖格致中学陈锋

一年一度的中考已经结束，其中一些体现命题者思考和智慧的试题，不仅体现了对学生综合能力的考查，也展示了对教师教学情况的阶段性考量.无锡市中考数学试卷的第27题就是这样一个题目，虽然本题的题型对于大多数学生来讲并不陌生，但从阅卷反馈的情况看，不同层次的学生得分差异较大.下面，笔者结合学生对此题的解答，在分析学生的解答的同时，谈谈笔者的一点思考.

一、试题呈现

AB1C1D.

（1）若m=3，试求四边形CC1B1B的面积S的最大值；

1

图1

如图1，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形

二、学生解答分析

学生走出考场后对此题的反响差异较大，有的感觉太简单了，也有的说能做，但就是脑子比较乱，思路不清晰，做不完，更有的竟然说看不懂，没有方向，交了白卷.这究竟是怎么回事呢？首先是对一部分平时学习缺乏主动意识，只会做些很直白的问题的学生来讲，对于此题只能放弃.其次，题目给出了作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D，这是初二学的轴对称图形，部分学生难以将两个成轴对称的图形联系在一起，并从中得到一些重要结论，如：这两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分.也有学生知道这一知识点，但无法将它和从已知条件▱ABCD中获得的已知条件联系在一起，面对这张如此明了的示意图束手无策，直接交白卷的学生占了半数之多，实在可惜！

1.第（1）问的解答分析.

其实第一问中的已有条件m=3，已将图中点B固定，▱ABCD其余各点的位置只与字母n相关，而▱ABCD关于直线AD的对称图形▱AB1C1D中的各点也随之被控制，要求四边形CC1B1B的面积S的最大值，只要写出S与n的函数关系即可.有此思考的部分学生在接下来的推理和计算中又遇上了麻烦，首先由于部分学生对轴对称图形的认识不够深入，不能灵活运用轴对称图形的相关性质，失去了最简洁的解题方法，即通过△CDC1≌△BAB1，等积变换即可得四边形CC1B1B的面积=四边形ABCD的面积+四边形ADC1B1的面积=2S▱ABCD.进而用含n的代数式很容易就可以表示S，通过配方等方法求出S的最大值.

图2

也有学生通过观察，直观得到四边形CC1B1B是矩形，有的因无法证明而放弃，其实图中根据已知条件可以得到很多证明矩形的方法，如：由条件得直线AD垂直平分线段CC1、BB1.则DF⊥C1C，且BC∥AD，可得∠C1CB= 90°；然后利用BC∥AD∥B1C1，BC=AD=B1C1，或者BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，CC1=BB1，来证明四边形BB1C1C是平行四边形，即可得四边形BB1C1C是矩形.在推理正确的情况下，通过计算，BC=AD=n，求C1C又变成拦路虎了，虽然根据对称的条件可以得到C1C=2CE，但还是有很大一部分学生看不出CE所在的△CED与已知△DOA相似，其中CD=AB=3-n，由相似可得DE∶CE∶CD=1∶2∶

则四边形CC1B1B的面积=C1C×BC=4n（3-n）=

还有部分学生根据示意图直观得到四边形CC1B1B的面积=2S矩形BCEF，通过证明四边形BCEF是矩形，同上求出BC、CE的长，也很方便地得到了解答.

2.第（2）问的解答分析.

本题两个小题是在同一背景下，各自追加了一个条件，两个小题的解答并无连续性.完全可以跳过第一小题直接做第二小题.

点B1在y轴上时，已知A、B、C三点坐标直接可以转化为线段AO=n，OD=2n，OB=m，AB=mn，这个过程只要参与解题的学生都能做到，由于解题习惯不是很好，不少学生不愿意再画一张满足第二题条件的示意图（如图3），也就是点B1在y轴上的图形，导致无法对图形做出正确的认识，或者说得不到更多有效的信息，无法继续解题.

图3

其实根据试题的条件，如果能仔细分析可将图形简化，题目所求只与图4中各点有关，根据轴对称的性质可得∠DB1A=∠DBA，∠ADB1=∠ADB=∠OBB1，进而可得Rt△AOB1∽Rt△DOB，Rt△BFA∽Rt△DFB1∽Rt△BOB1∽Rt△DFB∽Rt△DOA，利用其中一组相似三角形可以将某些线段用含m或n的代数式表示，然后利用另一组相似三角形的条件找到关于m、n的一个方程.

图4

还可以借助三角形面积的不同表示方法得到关于m、n的一个方程.

也就是说此题入口相对宽，解法众多，只要学生具有认真、踏实的学习态度，以及良好的思维品质和解题习惯，是完全可以得满分的.

三、试题亮点分析

本题是2016年无锡市中考试卷第27题，分值10分，作为压轴题之一，本题以几何的形式，考查平面几何图形的性质，集代数知识、几何知识、探究应用于一身，集知识、思想、能力于一体，充分关注学生对数学知识的理解和应用，对数学教学有较好的引导作用.

1.题面简洁，题意新颖.

首先，本题是在平面直角坐标系背景下，以带字母的坐标形式给出了平行四边形各顶点，打破了初中平面几何的常规呈现方式，形式新颖，有新意，使人耳目一新.其次，试题难度适中，表述简炼，示意图清晰明了，构思巧妙.涉及了平面直角坐标系、函数、方程、平行四边形、轴对称、相似三角形等相关内容，以几何图形为背景，将平行四边形和它关于一条边对称的轴对称图形一起放入平面直角坐标系，给学生较大的思维空间.考查数形结合、转化等重要的数学思想；考查学生对图形的认识与分析能力及综合运用知识的能力.第三，它把考查数学实验与数学逻辑推理结合起来，数学实验是近年来初中数学的热点问题，逻辑推理是数学六大核心素养之一.因此，本题较好地体现了新课标对知识与能力的目标要求.

2.层层递进，尊重差异.

试题编排从探究—拓展—延伸，很好地遵循从易到难、从特殊到一般的特点，符合学生的认知规律，第一小问当n=3时求S的最大值，很明显是通过建立S与n的关系式求解，在此基础上学生会很自然地观察与研究图形，探究已知条件所能带来的其他条件，如轴对称条件下的图形的性质（包括图中很多相等的量），平行四边形对边平行且相等，这些既是最容易入手的情况，也是后面整个解题过程的重要基础，特殊条件下的结论往往能给我们带来很多有益的启示，成为通往一般结论的桥梁、打开解题思路的钥匙.因此，以这一特殊情况为入手点，入口低，铺垫足，为后续拓展延伸中层层递进的一般情况打下了坚实的基础.同时，本题巧妙地融合了数形结合、转化、函数与方程、建模等基本思想，考查学生对知识的理解能力，以及是否能将未知的问题转化成已知问题的迁移和应用能力.所有这些思想与能力的考查，都自然地融合在层层推进的题意之中.如转化、函数与方程思想在解题中两次出现，这种多层次的编排也加强了区分度，既面对全体学生，又加强甄别功能，体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》中强调的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.”

3.注重思考，强化过程.

新课标从“双基”到“四基”的变化，特别强调了基本思想和基本活动经验，而本题可谓这一变化的生动体现，注重过程、方法与基本数学活动经验的考查.从探究中显而易见的直观结论，让学生尝试入手，到拓展图形变化，产生函数关系，这时，学生如果能根据题目的已有信息进行分析和思考，抓住变化过程中的不变要素——两个平行四边形成轴对称，连接对应点的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等，几何的基本模型不变，常规的基础图形也就应运而生了.此时，学生首先要仔细审题，读懂题意，抓住题目的本质特征，剥离干扰解题的背景和无关条件，对于第二小问，如果能画出图4那样的示意图，就离解题成功不远了.本小题虽然有两个变量，且追加了将点B1固定在y轴上这个条件，但其基本的等量关系没有发生变化，通过这些条件根据由等角所得相似三角形对应边成比例，或借助直角三角形勾股定理都能列出方程，通过计算，完成求解过程.纵观整个解题过程，学生完整地经历了“做数学”的前后过程，体验数学的创造性，感知数学的无穷力量，理解数学学习不仅要关注学习的结果，更要关注学习的过程，做到勤于思考和善于总结.因此我们在日常的教学过程中，要尽可能地让学生亲身经历数学知识的形成过程，体验数学活动的开展过程，感悟运用数学知识形成解题方法的过程，力争做到“知其然，更要知其所以然”.根据题意可判断出最终结论.所有这些都告诉我们：解题能力不是一朝一夕形成的，更不是依靠大量的机械训练形成的，它是知识、技能、思想、活动经验的融合体，是知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等众多因素的综合体现，因此，教师理应站在足够的高度，紧抓数学的本质，渗透思想教学，注重能力培养.