基于Kent混沌测量矩阵的压缩感知图像重构算法

孙宪坤 陈 涛 韩 华 王裕明

(上海工程技术大学电子电气工程学院 上海 201620)

基于Kent混沌测量矩阵的压缩感知图像重构算法

孙宪坤 陈 涛 韩 华 王裕明

(上海工程技术大学电子电气工程学院 上海 201620)

图像重构是图像数字化和恢复高质量图像信号的关键技术，使用压缩感知理论进行图像重构的意义在于显著减少采样次数，降低系统资源的消耗。测量矩阵的构造是压缩感知的重要研究内容之一。提出一种基于Kent混沌测量矩阵的压缩感知图像重构算法，将Kent混沌序列作为测量矩阵，采用离散小波变换的稀疏化方法，在小波域对原始图像信号进行测量。最后采用正交匹配追踪方法恢复原始图像。仿真实验中，对比高斯随机测量矩阵和Logistic混沌测量矩阵，对不同的图像进行重构。实验结果证明，基于Kent混沌测量矩阵的重构算法能够恢复原始图像，重构性能优于高斯随机观测矩阵和Logistic混沌测量矩阵，同时克服了随机测量矩阵硬件难以实现的缺陷。

混沌矩阵 压缩感知 图像重构 Kent矩阵

0 引 言

客观世界的图像转换成计算机可以处理的图像，即图像的数字化过程，对图像的采集和存储等硬件设备要求极高。图像重构技术的意义在于提高图像数字化过程中图像的采集和存储效率，避免图像质量退化，尽可能恢复接近实际的图像。近年来压缩感知[1-3]CS(Compressive Sensing)作为一种新的采样理论被广泛应用于信号处理邻域。压缩感知理论使得信号的采样速率在远低于信号最高频率的2倍时，即在不满足奈奎斯特-香农(Nyquist-Shannon)采样定理的条件下，也能够精确重构原始信号。压缩感知在采样的同时对信号进行了压缩，使得图像重构过程中消耗的系统资源大大减少，降低了成像系统的硬件负担。压缩感知理论要求测量矩阵应该满足约束等距性条件RIP(Restricted Isometry Property)[4]，即测量矩阵和稀疏表达矩阵成不相关关系。测量矩阵的研究是压缩感知理论的一个重要方面。寻找合适的满足RIP条件的测量矩阵可以极大地提高信号重构的准确程度并减少硬件设计上的复杂程度。测量矩阵包含随机测量矩阵和确定性测量矩阵[5]。其中，随机高斯矩阵[6]和随机伯努利矩阵[7]，与大多数固定正交基构成的矩阵不相关，但这类随机矩阵的计算复杂度高，所需存储空间大。

确定性测量矩阵，如Toeplitz测量矩阵、循环测量矩阵、多项式测量矩阵等[8]，计算复杂度低，克服了随机测量矩阵的不足。混沌矩阵作为一种确定性测量矩阵，具备伪随机性，计算过程简单，硬件上容易实现，在某些要求安全性和保密性的应用上具有优势。文献[9]的作者通过Logistic混沌序列构造测量矩阵，证明了托普利兹结构的混沌矩阵在很大程度上满足RIP准则，并且与高斯随机矩阵和稀疏随机矩阵具有相似的重构效果。Kafedziski利用Chua和Lorenz混沌信号构造测量矩阵[10]，证明了测量序列的相关关系不影响重构的准确率。Frunzete和Liu通过帐篷(Tent)混沌序列构造测量矩阵[11-12]，提出了一种新的测量矩阵构造方法。文献[13]通过Chebyshev映射构造测量矩阵，证明了Chebyshev混沌序列以极大概率满足RIP准则。文献[14]对多种混沌映射用作测量矩阵的性能进行了研究，大部分混沌测量矩阵的性能优于随机高斯矩阵。这些算法与随机高斯矩阵的重构效果相似。

Kent序列是混沌序列的一种。Kent序列对初始条件的敏感性，比Logistic等混沌序列较好的均匀分布特性，以及良好的类随机性和遍历性，使得Kent序列在全局优化[15-16]和图像加密[17-18]等方面取得了很好的应用效果。目前为止的所有文献中，还没有人将Kent序列用于压缩感知。Kent混沌测量矩阵的类随机性、遍历性、均匀分布特性，可以保证在观测信号时，保留各个频率分段的丰富信息，在低采样率条件下，仍能为重构图像提供有用的观测信号。因此，本文将Kent序列用于构造压缩感知的测量矩阵，采用离散小波变换DWT(Discrete Wavelet Transform)[19]方法稀疏表示信号，重构方法为正交匹配追踪算法OMP(Orthogonal Matching Pursuit)[20]，重构二维的图像信号。本文的主要贡献在于提出一种新的混沌序列Kent用于构造压缩感知的测量矩阵。

1 压缩感知理论

设X为长度N的一维信号，稀疏度为k(即含有k个非零值)。X在一个N×N维正交变换矩阵Ψ∈RN×N下能表示为：

X=ΨΘ

(1)

其中，Θ=[θ1,θ2,…,θN]T称为信号X在基矩阵Ψ下的投影系数向量。当信号X在某个正交基Ψ上仅有K≪N个非零系数θk时，称Ψ为信号X的稀疏基，θ是K稀疏的。式(1)将现实中非稀疏的信号进行转换，称为信号的稀疏化。常用的稀疏变换有：傅里叶变换、离散余弦变换DCT[21]和离散小波变换(DWT)[19]。而DWT能克服DCT的不足，如方块效应等，获得更好的图像恢复效果。

利用观测矩阵Φ∈RM×N对信号进行观测，即可获得观测值Y：

Y=ΦΘ=ΦΨ-1X

(2)

在已知Y、Φ和Ψ，并且Φ满足RIP准则(式(3))的条件下，用l1范数逼近l0范数，通过求解非线性优化问题，即可从Y中恢复原始信号X。

(3)

目前压缩感知的重构算法包括：匹配追踪MP(MatchingPursuit)算法(OMP[20]、CoSaMP算法[22])，重构速度快，但重构精度不高；子空间追踪SP(SubspacePursuit)[23]，方向追踪GP(GradientPursuit)算法[24](GP、CGP、ACGP)；凸优化算法(如BasisPursuit(BP)[25]、LeastAngleRegression(LARS)[26]、GradientProjectionforSparseReconstruction(GPSR)[27])，它们的计算量较大；以及基于贝叶斯的算法[28-30]，其重构性能介于匹配追踪算法和凸优化算法之间。

2 Kent混沌测量矩阵

Kent映射是一种具有代表性的离散混沌系统，其系统方程可以表示为：

(4)

其中，控制参数a∈(0,1)。图1-图3显示了Kent映射具备的特性。

如图1为Kent映射的分岔图。由于计算机字节长度和精度的限制，在a=0.5时Kent映射容易周期化或者收敛于固定值。为了生成可靠的Kent混沌序列，本文取a=0.4。从图1可以看出，当a∈(0,1)，x∈(0,1)时，Kent映射处于混沌状态，体现了Kent映射的类随机性。

图1 Kent映射分岔图

图2所示为Kent映射的Lyapunov指数图。Lyapunov指数用来刻画混沌系统初始状态微小不确定性的发散比率和混沌水平，一维混沌系统xn+1=f(xn)的Lyapunov指数[16,31]可以表示为：

(5)

图2 Kent映射的Lyapunov指数图

图2中Kent映射的Lyapunov指数曲线均在x轴上方，因此Kent映射在a∈(0,1)内是混沌的，具备良好的遍历性。

Kent映射的概率密度d(x)服从均匀分布，由式(6)Frobenious-Perron方程[32]计算得到，即：

(6)

(7)

图3为四种测量矩阵或映射的概率分布直方图。图3(a)-(d)分别为Kent、Gaussian、Bernoulli、Logistic矩阵的随机分布特性，它们的矩阵元素数量都为10 000个。可以看出，Gaussian矩阵呈钟型分布，在图像重构时重点观测了主要信号，Bernoulli矩阵的分布中，只有元素0和1，它们等概率的出现。Logistic映射的概率分布中部均匀，两端偏高。图3(a)为Kent映射在[0,1]上的概率分布直方图，图中显示Kent映射在各区间呈均匀分布，有利于提取图像重构信号。

图3 四种概率分布直方图

Kent混沌映射的初始值一旦确定，系统的每一项都可以完全重现，大大减少所需的存储空间，且硬件实现简单。Kent映射良好的类随机性、遍历性以及均匀分布的这些特性，适用于压缩感知测量矩阵的生成，易于产生和重现。Kent序列的平均性及稳定性也有利于信号的重构。

利用迭代产生的序列{x0,x1,…,xn}构建M×N的测量矩阵，Kent混沌测量矩阵的构造如下：

(8)

图4 Kent混沌测量矩阵Φ(Size:128×256,M=128;此时σ=0.0834)

3 基于Kent测量矩阵的压缩感知

压缩感知是利用信号的稀疏特性重构原始信号的方法。在压缩感知理论中，Kent等测量矩阵用于对稀疏变换进行观测测量，得到待重建的观测信号。稀疏表示完成对原始信号的转化，变换成稀疏信号。重构算法实现观测信号的恢复重建。本文压缩感知重构算法流程见图5所示。

图5 Kent测量矩阵压缩感知图像重构流程

如图5所示，本文首先采用离散小波变换(DWT)作为稀疏基Ψ对图像进行稀疏表示，再利用Kent测量矩阵完成信号的观测，最后采用正交匹配追踪(OMP)算法对图像进行恢复重建。

3.1 离散小波变换

Wf(j,k)=[f(t),ψj,k(t)]=∫Rf(t)ψj,k(t)dt

(9)

图像可以用二维矩阵X表示，ωω表示经过一维离散小波变换的正交规范化变换矩阵。则图像X的离散小波变换为：

X1=ωω×X×ωω′

(10)

如图6所示为经过上述离散小波变换的正交规范化矩阵，其中，空白区域为零元素，蓝色部分为非零元素的分布，可以看出矩阵是稀疏的。我们将其用于图像的稀疏变换，图像经过离散小波变换之后的结果如图5中的X1所示，X1即为稀疏变换之后的图像信号。

图6 离散小波变换得到的稀疏矩阵ωω的结构图(蓝色为非零元素的分布)

测量矩阵Φ再对图像信号进行测量，测量值用Y表示：

Y=Φ×X1

(11)

3.2 正交匹配追踪算法

正交匹配追踪(OMP)算法以贪婪迭代的方式，使得测量矩阵的每一列与当前的残差向量最大程度的相关，再从矩阵中减去相关部分，反复迭代直到满足稀疏条件[20]。

输入：测量向量y，测量矩阵Φ，稀疏度K。

初始化：残差r0=y，索引集Λ0=∅，迭代次数t=1。

OMP算法核心步骤如下：

步骤2 更新索引集Λt=Λt-1∪{λt}，记录找到的测量矩阵中的重构原子集合Φt=[Φt-1,φλt]；

在图像信号重建过程中，OMP算法对图像的每一列数据分别进行恢复，如图7所示，为OMP算法对图像信号的一列数据进行的恢复结果。两张图像的曲线及其相似，信号完整，说明OMP算法对图像信号进行了有效的恢复。

图7 正交匹配追踪(OMP)算法恢复图像信号

4 仿真实验

本文将比较随机高斯矩阵、随机伯努利矩阵、Logistic混沌矩阵和Kent混沌矩阵作为测量矩阵时的性能。对于M×N的测量矩阵，取采样率R=M/N=0.5。为了生成更好的混沌测量矩阵，以获得更加准确的检测效果，Logistic和Kent混沌序列的前面一小段被截去。Kent混沌测量矩阵的控制参数a=0.4。本文采用大小为256×256的灰度图像作为测试目标，图像重构效果见图8所示。实验环境为MATLAB2013a，计算机CPU性能参数为i5-2410M2.3GHz，内存大小为4.00GB。本文采用了两种不同的图像质量评价指标，峰值信噪比PSNR和结构相似性指标SSIM，来评价重构图像的质量。

图8 不同测量矩阵图像重构效果对比

4.1 峰值信噪比PSNR

PSNR=10log10(2552/MSE)

(12)

(13)

表1 采样率为0.5时，各测量矩阵重构图像的PSNR值

如表1的数据显示，在相同的采样率条件下，Kent测量矩阵重构的图像质量与使用随机高斯矩阵的重构结果相近，并且是四种测量矩阵中重构效果最好的。其中，对于随机伯努利矩阵，除了Lena图的PSNR值比Logistic混沌测量矩阵的稍大一些，其他图像的PSNR值均最小，说明其重构准确度最差。同理，Logistic混沌测量矩阵的图像重构效果稍差，而随机高斯矩阵的图像重构效果较前两者要好。Kent混沌测量矩阵的四幅图像的PSNR值都是最大，说明其图像恢复的准确程度最高，图像重构效果最好。

为了进一步验证本文提出的Kent混沌测量矩阵在重构精度上的优势，本文在不同的采样率下，用上述测量矩阵对图像进行重构。采样率在0.2～0.6时，各测量矩阵重构结果的PSNR变化如图9所示。

图9 各测量矩阵在不同采样率下的PSNR(dB)变化图

从图9可以看出，随着采样率的提高，图像的重构精度也在提高。说明测量矩阵测量的图像数据越多，恢复的图像信息也越准确。图9中，在采样率为0.2～0.3时，Logistic和Kent混沌测量矩阵的重构精度比Gaussian和Bernoulli随机测量矩阵要高。在采样率为0.4～0.6时，四种测量矩阵的重构精度差别不大。

4.2 结构相似性指标SSIM

鉴于图像结构表达信息的重要性，我们采用符合人眼主观感知的结构相似性SSIM指标[34]：

(14)

其中：μ为图像均值，σ为图像方差或协方差，c1和c2为避免分母为零的小常数。SSIM值越大(最大为1)，则重构图像与原图像越逼近，从而算法效果越好。表2给出了采样率为0.5时，各测量矩阵的SSIM值。

表2 采样率为0.5时，各测量矩阵重构图像的SSIM值

从表2中不同测量矩阵重构图像的SSIM值可以看出，对于四种不同的图像，Kent测量矩阵重构图像的SSIM值始终最大，说明采用Kent测量矩阵重构的图像与原图像最逼近，重构效果最好。其中，Gaussian测量矩阵重构图像的SSIM值始终最小，重构效果最差。而Bernoulli测量矩阵和Logistic测量矩阵图像重构的SSIM值介于前两者之间，说明它们的重构效果比Gaussian矩阵好，但比Kent矩阵差。

图10为各测量矩阵在不同采样率下的SSIM变化图。从图10可以看出，随着采样率的提高，图像的SSIM值也越高，说明重构的图像越来越逼近原图。图10中，在采样率为0.2～0.3时，Logistic和Kent混沌测量矩阵的SSIM值比Gaussian和Bernoulli随机测量矩阵要高，说明前采用两种测量矩阵重构的图像更逼近原图。图9、图10中(b)可以看出，对于Pepper图像在低采样率的情况下Kent混沌序列作为测量矩阵，其重构效果不如Logistic矩阵，说明在个别图像中Kent矩阵的重构效果较差，但相比随机测量具有明显的重构效果。在采样率为0.4～0.6时，四种测量矩阵的SSIM值差别不大，说明四种测量矩阵的重构效果基本一致。以上SSIM评价指标的结论与PSNR评价指标得到的结论相同，再次验证了采用Kent矩阵作为压缩感知测量矩阵的有效性。

图10 各测量矩阵在不同采样率下的SSIM变化图

为了从视觉上直观地观察这一现象，本文在图11-图14中给出了四种图像的重构结果。

图11 不同采样率R条件下的Lena图像重构结果

图12 不同采样率R条件下的Peppers图像重构结果

图13 不同采样率R条件下的Board图像重构结果

图14 不同采样率R条件下的Parrots图像重构结果

如图11-图14所示，随着采样率的降低，各测量矩阵重构的图像越来越模糊，即重构精度逐渐降低。从图中可以看出，在低采样率下，图像会出现块状效应，导致重构精度严重降低。块状效应在随机测量矩阵(Gaussian、Bernoulli)的重构图像中更加严重，而混沌测量矩阵(Logistic、Kent)在低采样率下，仍可重构出图像的大致轮廓。结合图3，根据测量矩阵的随机分布特性分析上述重构效果的差异。对于Gaussian和Bernoulli矩阵，当采样率降低时，如图11-图14(d)、(e)，测量矩阵的元素减少，由于矩阵元素是随机产生的，这时不能满足上述随机分布特性，造成对个别频段信息的提取不足，重构效果变差。图3(d)中Logistic矩阵呈两头偏高的均匀分布，图3(a)中Kent矩阵的分布特性较其他矩阵都均匀，由于是确定性矩阵，在矩阵元素量减少时，它们的分布特性保持不变，对各频段信息的提取能够得到保证，因此重构效果较随机矩阵优。

结合图11-图14的重构效果，当采样频率越低时，获取图像信号的信息量越少。在采样率较低时，Gaussian和Bernoulli随机测量矩阵的随机分布特性较差，所观测的信号丢失了有用信息，不足以恢复原始信号。而Kent混沌测量矩阵分布更加均匀，比Logistic矩阵的随机分布性能更好，能够有效观测到各频率分段的信号，因此，Kent矩阵在重构图像时质量更好。提高采样率可以获取更精确的图像，但采样率的提高，增加了要处理的数据量，因此实际应用中需要根据具体条件在处理速度和图像精度上合理取舍。

5 结 语

本文针对压缩感知中的测量矩阵构造问题，提出了基于Kent混沌测量矩阵的压缩感知图像重构算法。混沌矩阵具备构造简单，占用存储空间少等优势，相比高斯、伯努利等随机矩阵，在消耗较低硬件代价的同时，仍可以观测到各频段的有用信号，获得不逊于随机矩阵的重构精度。在不同采样率下进行的图像重构实验表明，Kent混沌测量矩阵在低采样率下的图像重构效果更好，比随机测量矩阵提高至少4～5 dB，具有一定应用价值。今后将在降低块状效应，提高重构精度方面作进一步的研究。

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COMPRESSED SENSING IMAGE RECONSTRUCTION ALGORITHM BASED ON KENT CHAOTIC MEASUREMENT MATRIX

Sun Xiankun Chen Tao Han Hua Wang Yuming

(SchoolofElectronicandElectricalEngineering,ShanghaiUniversityofEngineeringScience,Shanghai201620,China)

Image reconstruction is the key technique of image digitisation and restoration of high-quality image signal. The significance of using compressed sensing theory to reconstruct the image is to reduce the sampling times and decrease the consumption of system resources. The structure of measurement matrix is one of the important research contents of compressed sensing. This paper presents a compressed sensing image reconstruction algorithm based on Kent chaotic measurement matrix. We use Kent chaotic sequence as the measurement matrix and adopt sparse method for discrete wavelet transform to measure the original image signal in wavelet domain. Finally, we use the orthogonal matching pursuit method to recover the original image. In simulation experiments, Gaussian random measurement matrix and Logistic chaotic measurement matrix are compared in the reconstruction of different images. Experimental results show that the reconstruction algorithm based on Kent chaotic measurement matrix can reconstruct the original image, its reconstruction performance is superior to Gaussian random measurement matrix and Logistic chaotic measurement matrix, and the defects which random measurement matrix hardware cannot realize are overcome.

Chaotic matrix Compressed sensing Image reconstruction Kent matrix

2015-11-16。国家自然科学基金项目(61305014)；上海市教育委员会重点创新项目(14ZZ156)。孙宪坤，副教授，主研领域：图像处理，计算机应用。陈涛，硕士生。韩华，博士。王裕明，教授。

TP391

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2017.04.036