一类无界非双曲域上的广义Cartan定理

金帅

摘 要：我們考虑一类无界非双曲域即Fock-Bergmann-Hartogs型域，中的Fock-Bergmann-Hartogs型域通过如下定义：，这里。如果两个维数相等的Fock-Bergmann-Hartogs型域的双全纯映射保持原点，那么这个双全纯映射则是线性的。

关键词：Fock-Bergmann-Hartogs型域 Cartan定理 双全纯映射

设Ω是中的有界域，并记Aut（Ω）为将Ω映到Ω的双全纯映射的全体构成的集合。显然，Aut（Ω）中的变换在映射的复合运算下构成一个群，Aut（Ω）称为Ω的全纯自同构群。对于≥2）中的一个域来说，准确描述其全纯自同构群不是一件容易的事。对于有界域的情形，它的全纯自同构群在文献[1～3]中给出。我们现在考虑一种无界域的情形，Fock-Bergmann-Hartogs型域[4]通过如下定义：，这里。是中的无界强拟凸域，并且包含，从而在Kobayashi意义下是非双曲的，这样就不能双全纯映射到的一个有界域。

定理1 （Cartan定理）：设D是中一个包含原点的有界圆形域，且，则是线性的。

对于无界圆形域的情形，我们只需要验证满足两个条件即可。

设D是中的一个包含原点的圆形域（不必有界），它的Bergman核记为，如果满足下面两个条件，则无界圆形域的Cartan定理也是成立的。

（i）；（ii）是正定的。

其中是一个Hermitian矩阵，定义如下

定理2 （Cartan定理[5]）：设D是中一个包含原点的无界圆形域，且，并且满足条件（i）和（ii），则是线性的。

这篇文章的主要目的是证明两个维数相等的Fock-Bergmann-Hartogs型域之间的双全纯映射，如果保持原点，那么这个映射也是线性的。

定理3：设和是两个维数相等的Fock-Bergmann -Hartogs型域，是和的一个双全纯映射且，则是线性的。

1 引理

这一部分的主要目的是通过的Bergman核的具体表达形式来验证条件（i）和（ii）。

（1）多项式对数函数的Bergman核的具体表达形式通过多项式对数函数具体表示出来，我们在此引入这个函数。

回忆下对数函数有下列幂级数展式：

通过对右式做一个自然的推广，我们来定义多项式对数函数：

关于很重要的一个事实就是当s是一个负整数的时候，就是一个关于t的有理函数。事实上通过验证和就可以得到：

（1）

其中表示第二类Stirling数。

（2）

这里 （3）

引理1[5]：的所有系数都是正的。

（2）Bergman核。

的Bergman核的具体表达形式在文献[4]中计算出来：

现在我们来验证条件（i）和（ii）。对于条件（i），只需要检查。通过公式（2）等价于。由引理1得，的所有系数都是正的，从而我们得到。

接下来，我们验证条件（ii）。对于条件（ii），我们需要下面的引理。

引理2[5]：（1）的复矩阵在零点处是正定的。

（2）P是一个多项式使得和，则的复矩阵在零点处是半正定的。

结合引理1和引理2，我们就得到是正定的。这样我们就验证了Fock-Bergmann-Hartogs型域满足条件（i）和（ii）。再结合下面的引理3，我们就得到了两个维数相等的Fock-Bergmann-Hartogs型域的广义Cartan定理。

引理3[6]：（k=1，2）是中一个包含原点的有界圆形域（不必有界），是一个双全纯映射且。如果和（k=1，2）是正定的，则是线性的。

2 定理3的证明

证明由引理1和引理2得知，Fock-Bergmann-Hartogs型域满足条件（i）和（ii）即 是正定的，再结合引理3我们就得到如果是和的一个双全纯映射且满足，则是线性的。这样我们就完成了定理3的证明。

参考文献

[1]Ahn H，Byun J，Park J D.Automorphisms of the Hartogs type domains over classical symmetric domains[J].International Journal of Mathematics，2012，23（9）：125.

[2]Shimizu S.Automorphisms of bounded Reinhardt domains[J].Japanese journal of mathematics.New series，1989， 15（2）：385-414.

[3]Sunada T.Holomorphic equivalence problem for bounded Reinhardt domains[J].Mathematische Annalen，1978，235（2）：111-128.

[4]Yamamori A.The Bergman kernel of the Fock–Bargmann Hartogs domain and the polylogarithm function：An International Journal[J].Complex Variables and Elliptic Equations，2013，58（6）：783-793.

[5]Kim H，Yamamori A.The automorphism group of a certain unbounded non-hyperbolic domain[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2014，409（2）：637-642.

[6]Ishi H，Kai C.The representative domain of a homogeneous bounded domain[J].Kyushu Journal of Mathematics，2009，64（1）：35-47.