基于有限元特征频率法的各向异性复合板兰姆波特性分析

张林文,马世伟, 程 茜

(1.上海大学 机电工程与自动化学院， 上海 200444;2.同济大学 声学研究所， 上海 200092)

基于有限元特征频率法的各向异性复合板兰姆波特性分析

张林文1,马世伟1, 程 茜2

(1.上海大学 机电工程与自动化学院， 上海 200444;2.同济大学 声学研究所， 上海 200092)

提出了一种基于有限元特征频率法求解各向异性复合板中兰姆波频散曲线的方法，可根据Floquet周期性边界条件对板结构进行简化，对于板厚方向上下对称的层合板，利用对称(反对称)边界条件得到频散曲线的对称模式(反对称模式)。对于纤维增强多层复合板试验材料，进行了有限元仿真计算和试验测量，验证了该方法的有效性。

各向异性复合板；兰姆波；频散曲线；有限元特征频率法

复合材料具有质量轻、强度高、模量高、寿命久等优点，在工业领域得到了广泛的应用[1]。而超声兰姆波技术是一种应用于板材检测的高效无损检测手段。目前利用兰姆波对纤维增强复合层状材料的力学及界面特性等进行定量无损评价也是复合材料研究领域的热点问题之一[2]。

理论解析求解层状复合材料中兰姆波频散曲线的方法有传递矩阵法和全局矩阵法。利用传递矩阵法[3]可以得到兰姆波的精确频散方程，但当层数增加时求解超越方程的根会很困难和费时。另外当频厚积增大时，传递矩阵常会出现病态解，导致计算不稳定且误差增大。全局矩阵的基本思想是对传递矩阵进行修正，计算满足每一个界面上的连续边界条件，以获得单一的矩阵方程，由方程的解给出所有层上所需的兰姆波的波动性质，以消除传递矩阵法中出现的大频厚积时精度损失的现象[4]。

不同于理论解析法，有限元仿真方法计算简单，可对板中兰姆波传播进行建模，通过提取仿真结果数据，可计算群速度和相速度的大小[2]，已在板状材料的兰姆波传播特性研究中得到了越来越多的关注和应用[4]。但是由于纤维排布的差异，纤维增强型复合板材表现出强烈的各向异性[5]，其兰姆波传播特性更为复杂，需要采用有效的有限元建模方法。

1 基本原理

弹性波和弹性体之间的振动存在着本质联系，弹性体的振动是不同位置的质点在各自平衡位置进行的简谐振动。振动通过弹性介质之间的传播形成行波将能量传播出去。弹性体中的波动方程由本构关系和运动方程[6]得到。

在无限大各向异性弹性材料中自由传播的波动方程，其位移表示形式为：

(1)

式中:Cijkl为弹性矩阵;xi为坐标系;ui为位移(i,j,k,l=1，2，3)。

质点在各自平衡位置的简谐振动为:

(2)

式中:um为振动幅值;ω为角频率。

由式(1)和(2)可得到各项异性材料中的本征方程为：

(3)

式中:ρ为材料密度;δim为克罗内克符号;k为波数;i,k,l,m为张量下标。

因此，利用有限元仿真方法求解结构的自由振动方程的问题，可以简化为求解如下的特征方程[7]:

一般来说，知识的价值性可以通过三种方式来体现：一是知识的应用提高了实物的生产效率；二是知识直接物化为商品；三是将知识作为资本进行投资以实现其价值。当知识链的知识资源丧失了知识优势的时候，知识链可以选择开发新的有价值的知识或改变知识的应用方式来形成新的优势。由于价值性的体现方式不同，故不同行业的价值链知识优势影响因素不同，即使属同一行业，不同的知识链的知识优势也存在着差异，专利技术、人力资本、营销渠道、企业文化等，都是产生这种差异的原因。

(4)

式中:ω为结构的特征频率;U为特征频率对应的振动形式的位移矢量矩阵;K为刚度矩阵;M为质量矩阵。

为了分析板状结构中超声波的传播特性需,考虑如下的自由边界条件：

(5)

式中:nj为边界单位外法向量n的轴向分量。

根据Bloch-Floquet定理[8]，波动方程的解具有如下形式：

(6)

式中：k=[kx,ky,kz]T为Bloch波矢。

uk(r)为具有空间周期的函数，可表示为：

(7)

式中：L为晶格平移矢量。

由于无限大板结构和位移的周期性，决定了可以通过分析一个周期(一个元胞)来研究板中的声波传播特性。因此，根据式(10)中的周期性边界条件，求解不同Bloch波矢对应的特征频率，即可得到板内声波传播的频散关系。

2 有限元特征频率求解法

笔者采用COMSOL MULTIPHYSICS有限元仿真软件，结合有限元特征频率法，对层状各向异性复合板中兰姆波的频散曲线进行求解。考虑z方向厚度为2d的无限大板结构，为了方便计算板中的频散曲线，只选取了如图1所示的元胞，并在x方向使用Floquet周期边界条件(图中a为源边界和目标边界的距离)。

图1 有限元模型的边界条件设置

Floquet周期性边界条件是周期性边界条件的一种，一般可通过设置源(板左边)和目标边界(板右边)上的位移场值的位相因子差值(位相因子由x方向本征波矢kx和边界相对距离确定)，使得整个结构成为元胞的周期性延拓[8-9]。通过引入周期边界条件可以极大地简化计算。需要注意的是，引入Floquet周期边界会使色散曲线在布洛赫边界(简约布里渊区边界)折叠，对于平板结构来说这个折叠是虚假的。考虑到布里渊边界处波矢量最大取值为π/a(即Floquet周期边界条件中的晶格平移位移量L),可以使用较小的a值将求解的特征频率折叠推到极高的频率值，然后通过一个截断即可得到所需的频散关系。使用较小的a还可以简化模型的复杂性，从而减少计算时间。

由于纤维增强型复合材料板内的质点振动位移与x和y方向有关，故SH波和兰姆波之间不能完全解耦。因此，对于非波矢y方向的板内边界也需要考虑为周期边界并做相应处理。通过对波矢k在简约布里渊区的扫描，可以求解出该本征方程对应于不同波矢的本征频率。但是周期性条件的引入会导致计算的收敛性变差，为了提高收敛性，在网格剖分时，需保证周期性边界条件设置的网格一致。得到波数与频率的色散关系曲线后，即可以得到相速度(群速度)与频厚积的关系曲线。

为了进一步简化计算量，利用COMSOL中对称边界法向位移为零的条件，可保证板内的振动关于z方向中心面是对称的。同理，由反对称边界条件可知板内的振动关于z方向中心面是反对称的。采取这种对称(反对称)边界条件的前提是在板厚方向关于中心面对称，如图1所示。因此，如果能够满足对称(反对称)边界条件的使用条件，就可以减少有限元仿真的一半计算量，而且还可以通过对称(反对称)边界条件分别得到频散曲线的对称和反对称模式。

试验材料的性能参数为：x方向杨氏模量为31.18 GPa;y方向杨氏模量为13.91 GPa;xy方向的剪切模量为7.90 GPa;yz方向的剪切模量为5.90 GPa;xy方向的泊松比为0.49;yz方向的泊松比为0.40;密度为1 940 kg·m-1。由于纤维板关于厚度方向对称，因此仿真中板厚方向设置为多层结构，总厚度为实际板厚的一半，在波矢方向的长度a为0.1 mm。每层的弹性矩阵根据材料参数给定的角度进行变换得到。计算得到了各向异性纤维复合板试验材料中兰姆波传播的频散曲线，0°和45°方向的频散关系如图2所示。

图2 计算得到的各向异性纤维复合板试验材料中0°和45°方向传播的兰姆波频散曲线

3 试验及结果分析

试验材料为风力发电机叶片简化模型的纤维增强型多层复合板，该复合板由环氧树脂固化玻璃纤维粘结而成。其中，玻璃纤维材料的直径为14 μm，多层板由0°/45°/-45°的四层循环结构组成，总厚度为3 mm。图3(a)为试验材料的实物照片，图3(b)为材料的结构模型示意图。

图3 纤维增强型多层复合板试验材料的实物照片和纤维分布结构示意

图4 超声测试系统结构框图

图5 探头的布置照片

利用超声测试系统Ritec SNAP RAM-5000进行试验，测量了试验材料中的兰姆波传播特性。超声测试系统结构框图见图4，探头的布置照片如图5所示。试验中采用中心频率为0.75 MHz的压电换能器作为激发探头，1 MHz的宽带换能器作为接收探头。发射信号的脉冲周期数均为15，发射端的衰减器对发射信号进行调制得到合适的激励信号幅值。接收信号经过前置放大器放大，增益均为20 dB。由示波器显示和采样存储，示波器的采样频率为100 MHz，采样点为10 000点。试验过程中发射探头保持不变，接收探头间隔10 mm测量一组数据。

由于材料的各向异性,不同方向的激励信号不同。0°方向激励信号频率为0.71 MHz，根据仿真计算其对应的相速度为5 060 m·s-1，群速度为3 440 m·s-1，入射有机玻璃斜楔的倾角为32.2°，试验采用的斜楔倾角为32°。而45°方向上激励信号的频率为0.75 MHz,相速度为4 440 m·s-1，群速度为2 650 m·s-1，入射有机玻璃斜楔的倾角为37.5°，试验采用的斜楔倾角为37°。在90°方向上激励信号的频率为0.52 MHz,相速度为3 455 m·s-1，群速度为780 m·s-1，入射有机玻璃斜楔的倾角为51.5°，试验采用的斜楔倾角为52°。实测得到的原始信号如图6所示。对原始信号进行带通滤波，可以得到所激发的S1模式信号。由于材料本身的衰减较大，图6中的接收信号幅值随着传播距离增大而迅速降低。沿0°纤维方向的衰减最小，偏离纤维方向越大则衰减越大。

图6 试验测量得到的原始信号

图7 0°方向激励信号随距离变换的信号

图8 45°方向激励信号随距离变换的信号

采用互相关法计算，得到了0°，45°方向激励信号随距离变换的信号，如图7,8所示。图7,8中接收信号的时间差分别为59，38 μs，已知测量间距分别为20,10 mm，可得到兰姆波传播群速度结果(见表1)，验证了有限元仿真计算方法的有效性。

表1 群速度的理论值与试验值对比

4 结论

基于有限元特征频率法,求解了各向异性纤维复合多层板中的兰姆波频散曲线，该方法利用FLOQUET周期性边界条件对板结构进行了简化，可以通过对称(反对称)边界条件分别得到频散曲线的对称和反对称模式。通过有限元计算得到了纤维增强型多层复合板试验材料在0°和45°方向的相速度和群速度频散曲线，且试验测试结果与理论计算结果相吻合，验证了方法的有效性。为后续研究超声波在纤维增强型板中的传播特性和确定板中缺陷提供了理论基础。

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Lamb Wave Characteristic Analysis of Anisotropic Multilayer Composite Using Finite Element Intrinsic Frequency Method

ZHANG Lin-wen1, MA Shi-wei1, CHENG Qian2

(1.School of Mechatronics and Automation, Shanghai University, Shanghai 200444, China; 2.Institute of Acoustics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

A method based on the finite element intrinsic frequency method for solving the Lamb wave dispersion curve in an anisotropic composite plate is proposed. The plate structure can be simplified according to the Floquet periodic boundary conditions. For the symmetrically laminated plates with the plate thickness direction, the symmetric (antisymmetric) mode of the dispersion curve is obtained by using the symmetric (antisymmetric) boundary condition. The finite element simulation and experimental measurements were carried out for the fiber reinforced multilayered composite plate, and the validity of the method was verified.

Anisotropic composite plate; Lamb wave; Dispersion curve; Finite element intrinsic frequency method

2017-01-14

国家重大科学仪器与设备开发专项资助项目(2012YQ150213)；国家自然基金资助项目(61671285)

张林文(1991-),男，硕士研究生,主要从事超声导波无损检测研究。

马世伟， E-mail: masw@shu.edu.cn；

程 茜，E-mail: q.cheng@tongji.edu.cn。

10.11973/wsjc201704014

TG115.28

A

1000-6656(2017)04-0067-05