关注策略，收获技巧，发展思维

顾争光

摘 要：如何引导学生根据图形的特点，通过图形的运动变化巧妙获解，从而激发学生的学习兴趣，提升学生的数学素养，是我们一线教师必须研究的课题。

关键词：小学数学；策略；技巧；思维

平面圖形面积计算是小学数学教学的重要内容之一，它对发展学生的空间观念、培养学生的思维能力有着不可低估的作用。但由于平面图形中点、线、面之间的关系具有隐蔽性和运动变化的特点，给平面图形的面积计算带来一定的困难，因此如何引导学生根据图形的特点，通过图形的运动变化巧妙获解，从而激发学生的学习兴趣，提升学生的数学素养，是我们一线教师必须研究的课题。本文介绍一些平面图形面积计算的常见策略，旨在通过解题策略的研究，掌握面积计算的思维技巧，希望能引起大家的兴趣和关注。

一、等积变换

等积变换主要是对一些形状可变的平面图形，通过寻找条件与问题之间的联系，用等积变换的思想和方法使问题简化。

例1：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，且AB=8厘米，求图中阴影部分的面积。

分析与解：由于正方形CEFG的边长不确定，说明这个阴影三角形的形状是可变的，所以此题不可能直接通过面积公式来计算阴影三角形的面积，但如果我们通过寻找阴影部分与空白部分之间的内在联系，按“等积变换”的思路解题，就能使问题简化。

连接CF，因CD=BC，EF=GF，所以正方形CEFG的边长无论怎样变化，三角形CDF的面积总等于三角形BCF的面积（等底等高），从中容易看出三角形CDO的面积等于三角形BOF的面积，原阴影部分面积就等于三角形DCB的面积，为8×8÷2=32平方厘米。

二、加倍补形

加倍补形是指对一些看似条件不够的面积计算问题，通过在原来的图形上补一个完全相同的图形，通过巧妙转化使问题迎刃而解。（我们在三角形、梯形的面积公式推导时也常用这种方法。）

例2：如图2所示的直角三角形中有一个长方形，求这个长方形的面积。（单位：厘米）

分析与解：由于题中所提供的已知条件与长方形无关，所以从表面上看，似乎无法求出图中长方形的面积，但我们可以根据图形的特点，在直角三角形上补一个完全相同的直角三角形，使之成为图3所示的长方形，这样就能达到峰回路转的解题效果。

图3中大长方形的对角线把大长方形和两个小长方形平分，由此可知图中S1的面积就等于S2的面积，所以所求长方形的面积为50×30=1500平方厘米。

三、巧添辅线

添辅助线是进行面积计算的常用方法之一，是指当解决问题的条件不够时，通过添加辅助线构建新图形，把原问题转化为自己能解决的新问题。

例3：如图4所示，ABCD是边长为12厘米的正方形，E，F分别是AB，BC的中点，AF与CE交于点G，则四边形AGCD的面积是多少平方厘米？

分析与解：本题难以直接计算，所以在解题时通过添加辅助线，先求出正方形内其他三个区域的面积，再求出四边形AGCD的面积。

如图5所示，连接BG，根据图形的对称性可知四边形EBFG被分成两个完全相等的三角形EBG和三角形BFG。因为三角形AGE和三角形EBG、三角形BFG和三角形FCG等底等高，所以上述四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积是12×（12÷2）÷2÷3=12平方厘米。因此四边形AGCD的面积为12×12-12×4=96平方厘米。

四、分割显示

有些几何图形由于自身的结构具有一定的特殊性，它把图形之间的关系巧妙地遮掩起来，解题时就需要分割图形，把隐蔽的关系显示出来。

例4：如图6所示，三角形ABC和三角形CDE都是等腰直角三角形，阴影部分是正方形，求三角形ABC与三角形CDE的面积比。

分析与解：由于阴影正方形既是三角形ABC的一部分，又是三角形CDE中的一部分，所以它是两个三角形之间关系的桥梁，也是解决问题的关键所在，解题时只要把图形巧妙分割，就能把隐蔽的关系显示出来，达到快速解题的目的。

画出正方形的两条对角线，将正方形分割成形状、大小完全相同的四个小三角形，然后再将另三个三角形也分割成与正方形内的小三角形相同的小三角形（如图7所示），这样整个图形分割成了10个形状、大小相同的小三角形，其中在三角形ABC中有9个，三角形DEC中有8个，从中容易看出三角形ABC与三角形CDE的面积比是9：8。

五、对称比较

对称比较是指在原有图形中通过添加辅助线或把部分图形通过旋转、平移使图形相对的部分在大小、形状和排列上具有一一对应的关系，再通过比较获解。

例5：如图8，在半径为4厘米的圆中，有两条互相垂直的线段，把圆分成了四块，圆心O到M的距离是1厘米，M到N的距离是2厘米，那么图中空白部分面积与阴影部分面积相差多少平方厘米？

分析与解：初看该题感觉无从下手，但若根据图形特征从问题入手分析，利用对称比较的方法就有柳暗花明的效果。

如图9，画出图中与原线段关于O点对称的两条互相垂直的线段，把原图中的4个部分分成了9个部分，根据图形的对称性可知a与c、b与g、d与e、f与h的面积分别相等，所以图中空白部分与阴影部分相比，空白部分比阴影部分多了一个含圆心O的长方形，因此空白部分面积与阴影部分面积相差（2×2）×（1×2）=8平方厘米。

六、平移组合

平移组合是指对部分关系隐蔽，正面突破不可能求解的面积计算，通过把部分图形平移变换，使条件关系明朗化。

例6：按图10的样子，在一平行四边形纸板上割去了甲、乙两个直角三角形，已知甲三角形两条直角边分别为4厘米和8厘米，乙三角形两条直角边分别为5厘米和10厘米，求图中阴影部分面积。

分析与解：由于图中阴影部分面积等于平行四边形面积减去两个直角三角形的面积，所以解题的关键是求出平行四邊形的面积。我们可以把图10中的两个直角三角形作如图11所示的平移变换，从中就会发现原平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和，所以阴影部分面积为8×5+10×4-10×5÷2-8×4÷2=39平方厘米。

七、旋转对应

旋转对应是在解决问题时把图中的部分图形绕着某个固定点旋转一定的角度，根据旋转后的图形与原图形的对应关系，找到解决问题所需要的条件。

例7：如图12所示，CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角形ADE的面积。

分析与解：本题如果按常规思路不易求解，但可以有意识地让静止的图形动起来，把原图中的部分图形作适当的旋转，就能找到解决问题的钥匙。

如图13，作AP，DM垂直于BC，由于ABCD是一个等腰梯形，所以AD=PM，BP=CM。从中容易求出CM=（35-23）÷2=6厘米。作EN垂直于AD交AD延长线于N，因为四边形CDEF是正方形，所以DE=DC，又∠EDN=90°-∠CDN=∠CDM，所以把直角三角形CDM绕D点逆时针旋转90°后与直角三角形EDN重合，因此EN=CM=6厘米，三角形ADE的面积为23×6÷2=69平方厘米。

八、构造图形

构造图形是指由于原图形中点、线、面之间的关系不甚明显，通过构造新的图形，使点、线、面之间的关系明朗化，达到变崎岖为通途的目的。

例8：如图14，一个长方形的长是宽的4倍，且对角线的长度是17厘米。求这个长方形的面积。

分析与解：由于小学生知识储备有限，用常规思路解答该题是相当困难的。这时我们不妨指导学生变换一种思维方式，用原长方形构造一个新的图形，达到化难为易的目的。

用四个同样大小的小长方形构造一个如图15所示的正方形，因长方形的长是宽的4倍，所以长方形ABCD中有4个方格。依次连接四个长方形的对角线，则由四条对角线围成的四边形BDEF是一个正方形，面积为17×17=289平方厘米，而正方形BDEF是由9个方格和4个直角三角形组成，每个直角三角形的面积相当于2个方格的面积，因此正方形BDEF的面积相当于9+2×4=17个方格的面积，这样容易求得每个方格的面积是289÷17=17平方厘米，长方形ABCD的面积是17×4=68平方厘米。

综上所述，根据图形的特征，科学合理地运用面积计算策略，不但能巧妙地解答许多图形面积的计算问题，提高解题效率，而且收获了面积计算的思维技巧，有助于提高学生探索与应用能力，培养学生思维的灵活性和创造性，提升数学素养。